Alors que la plupart des pays du monde dépendent de la dette pour financer leur gouvernement et leur économie, garder cette dette sous contrôle est un impératif financier. Une dette publique importante a un impact négatif sur la croissance économique à long terme. L'augmentation de la dette d'un pays entraîne une baisse des investissements privés, ce qui conduit à une baisse de la croissance et des salaires à long terme. Un endettement élevé peut être préjudiciable même en l'absence de crise financière.

« Il y a un grand débat dans la communauté économique et politique sur la soutenabilité de la dette publique, " observe Giorgio Ferrari, professeur de finance mathématique à l'Universität Bielefeld en Allemagne, et chercheur principal au Centre de recherche collaboratif de l'université 1283. "En utilisant différentes approches statistiques et méthodologiques, de nombreux chercheurs concluent qu'une dette publique élevée a un effet négatif sur la croissance économique à long terme, rend l'économie moins résistante aux chocs macroéconomiques, et impose des limites à l'adoption de politiques budgétaires contracycliques."

Le ratio dette/produit intérieur brut (PIB) est un indicateur important du levier financier d'une économie. « Lors de la dernière crise financière, le ratio dette/PIB - également appelé ratio d'endettement - a explosé dans de nombreux pays, " dit Ferrari, qui propose un modèle mathématique pour le contrôle de ce ratio dans un article à publier la semaine prochaine dans le Journal SIAM sur le contrôle et l'optimisation .

Pour minimiser le coût total attendu de la dette et mettre en œuvre des interventions sur le taux d'endettement, les gouvernements choisissent des politiques appropriées de réduction de la dette, bien que ceux-ci ne soient pas toujours conçus pour une efficacité maximale.

« On ne sait pas si les gouvernements planifient leurs politiques de désendettement selon un critère d'optimisation, comme la maximisation du bien-être social ou la minimisation des coûts sociaux, " dit Ferrari. " En ce sens, la modélisation mathématique peut fournir une base théorique pour de tels choix, et pourrait donner des indications sur les politiques à suivre."

Ferrari modélise le problème comme un problème de contrôle stochastique singulier continu, et essaie de répondre à la question, "Combien est trop? - comme dans, à quel niveau d'endettement aide-t-il le gouvernement à rembourser sans impacter la croissance ? Pour de nombreux pays développés, dont le ratio dette/PIB est loin du risque de défaut, le coût de l'augmentation des impôts ou de la réduction des dépenses pour réduire la dette peut l'emporter sur les avantages.

« Dans mon modèle, les gouvernements font face à deux coûts opposés, " explique Ferrari. " D'une part, ils visent à minimiser le coût d'opportunité total attendu dû à la dette. Cela peut résulter, par exemple, de l'investissement privé évinçant les investissements publics, laissant moins de place aux entreprises publiques, et d'une tendance à subir une faible croissance ultérieure. D'autre part, en réduisant la dette par, dire, politiques fiscales, le gouvernement supporte un coût proportionnel à l'amplitude de son action. Il est important pour les gouvernements de bien contrebalancer ces deux coûts, et un tel problème peut être modélisé mathématiquement à travers un problème de contrôle stochastique singulier."

Alors que des ratios dette/PIB élevés peuvent restreindre le progrès économique en augmentant le fardeau de la dette, les stratégies d'intervention du gouvernement comportent également des pénalités proportionnelles au montant de l'atténuation de la dette. Ainsi, l'objectif idéal est de choisir une politique de réduction de la dette cumulative qui limiterait le coût total attendu de la prise en charge de la dette et le coût global des interventions.

« Le besoin d'un gouvernement de contrebalancer le coût de la dette et de la réduire suggère qu'il devrait suivre une stratégie de seuil, c'est-à-dire elle ne devrait intervenir de manière à réduire le ratio dette/PIB que lorsque celui-ci est suffisamment important, » fait remarquer Ferrari. « Dans mon modèle, dans sa planification, le gouvernement prend également en compte le niveau d'inflation actuel dans le pays, qui n'est pas sous le contrôle du gouvernement, mais géré par une banque centrale autonome. Par conséquent, le niveau critique auquel le gouvernement doit agir pour stopper la croissance de la dette publique est dépendant de l'inflation, et ce seuil optimal est déterminé de manière endogène comme faisant partie de la solution au problème. »

En supposant que le gouvernement puisse réduire le niveau d'endettement par rapport au PIB par certaines mesures, telles que l'augmentation des impôts ou la réduction des dépenses, le groupe de Ferrari interprète les interventions collectives sur le ratio d'endettement comme la variable de contrôle du gouvernement. L'incertitude dans le modèle est introduite via l'inflation du pays donné.

"Clairement, en réalité, lors de la gestion de la dette publique, le gouvernement devrait également tenir compte de variables macroéconomiques autres que l'inflation, par exemple, taux d'intérêt, taux de croissance du PIB, et les taux de change, " dit Ferrari. " Cependant, afin d'avoir un problème mathématique traitable, J'ai décidé de me concentrer uniquement sur le rôle de l'inflation dans le problème de réduction de la dette auquel est confronté le gouvernement."

Ferrari montre qu'il est optimal pour un gouvernement d'adopter des politiques qui maintiennent le ratio dette/PIB sous un plafond dépendant de l'inflation.

Dans son travail, il démontre que la solution du problème de contrôle est liée à celle d'un problème auxiliaire d'arrêt optimal développé en termes de coût marginal d'endettement et de coût marginal d'intervention sur le taux d'endettement. Dans le problème d'arrêt optimal, le gouvernement détermine le moment optimal pour réduire le niveau du ratio d'endettement d'une unité supplémentaire dans le but de minimiser le coût marginal total attendu associé. La résolution du problème d'arrêt optimal peut alors résoudre efficacement le problème de contrôle.

Les travaux futurs impliquent des approches pour alléger la dette avec des données limitées et des facteurs indépendants de la volonté du gouvernement.

« Avec des collaborateurs, mon groupe de recherche au Center for Mathematical Economics de l'Université de Bielefeld essaie actuellement d'étudier comment les questions stratégiques pourraient entrer en jeu, comment un gouvernement peut réduire de manière optimale le taux d'endettement lorsqu'il ne dispose que d'informations partielles sur les quantités macroéconomiques impliquées, ou peut de manière optimale augmenter ou diminuer le niveau d'endettement lorsque le taux d'intérêt sur la dette est stochastique et est affecté par des chocs économiques qui ne sont pas sous son contrôle.

Les modèles mathématiques conçus pour représenter des situations financières réelles peuvent être à la fois fascinants sur le plan mathématique et remarquablement pratiques.

« Je trouve des problèmes de gestion optimale des quantités macroéconomiques – comme la dette publique, inflation, ou les taux de change - très intéressant à la fois d'un point de vue quotidien et mathématique, " dit Ferrari. " Ils conduisent à des problèmes mathématiques très difficiles dans lesquels il faut considérer l'interaction entre plusieurs variables, y compris les quantités macroéconomiques et financières et les agents multiples, comme le gouvernement, banques centrales, et agents financiers. Je pense qu'il y a encore beaucoup à faire dans l'analyse/la modélisation mathématique de tels problèmes."