Par Lee Johnson Mis à jour le 30 août 2022
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En mathématiques, le concept de coprimalité – également appelée relative ou mutuellement première – nous aide à comprendre comment les nombres interagissent en fonction de leurs facteurs premiers. Une paire d'entiers est première entre eux lorsque le seul diviseur commun qu'ils partagent est 1. Cette propriété est à la base de nombreux domaines de la théorie des nombres, de la cryptographie et de la conception d'algorithmes.
Deux nombres sont premiers entre eux si, après avoir décomposé chacun en ses facteurs premiers, aucun nombre premier n'apparaît dans les deux factorisations. Par exemple, 21 =3 × 7 et 22 =2 × 11 ; le seul diviseur partagé est 1, donc 21 et 22 sont premiers entre eux. Les nombres premiers sont automatiquement premiers avec tout nombre qui ne contient pas ce nombre premier dans sa factorisation.
La détermination du statut premier entre eux commence par la factorisation première. Prenons 35 comme exemple :
• 35 ÷ 5 =7 (les deux nombres premiers) → 35 =5 × 7.
Ensuite, facteur 60 :
• 60 ÷ 2 =30 → 30 ÷ 2 =15 → 15 ÷ 3 =5 → 5 est premier, donc 60 =2² × 3 × 5.
En listant les facteurs premiers, nous pouvons voir quels nombres premiers sont absents et donc adaptés à la construction de coprimes.
Une fois que les facteurs premiers d'un nombre sont connus, tout entier construit uniquement à partir de nombres premiers non présents dans cette factorisation lui sera premier entre eux. Pour 35 (nombres premiers 5 et 7), les nombres tels que 2, 3, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, etc., et leurs produits — 6 (2 × 3), 9 (3²), 22 (2 × 11), 33 (3 × 11), 26 (2 × 13) — sont tous premiers à 35.
De même, pour 60 (nombres premiers 2, 3, 5), tout entier qui évite ces nombres premiers est premier entre eux. Les exemples incluent 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59 et leurs produits :77 (7 × 11), 91 (7 × 13), 119 (7 × 17), 143 (11 × 13), etc.
Raccourcis utiles :
La vérification la plus simple consiste à factoriser les deux nombres et à rechercher les nombres premiers partagés. Vous pouvez également calculer le PGCD ; s'il est égal à 1, les nombres sont premiers entre eux. Cette approche est plus rapide pour les grands entiers et constitue la base de nombreux protocoles cryptographiques.
La factorisation première en ligne et les calculateurs GCD peuvent automatiser ces étapes. Les ressources fiables incluent WolframAlpha, la boîte à outils de théorie des nombres et d'autres plateformes mathématiques réputées.
