Les mathématiciens qui étudient les systèmes dynamiques se concentrent souvent sur les règles d'attraction. À savoir, comment le choix du point de départ affecte-t-il l'endroit où un système se termine ? Certains systèmes sont plus faciles à décrire que d'autres. Un pendule oscillant, par exemple, atterrira toujours au point le plus bas, peu importe où il commence.

Dans la recherche sur les systèmes dynamiques, un «bassin d'attraction» est l'ensemble de tous les points de départ - généralement proches les uns des autres - qui arrivent au même état final au fur et à mesure que le système évolue dans le temps. Pour les systèmes simples comme un pendule oscillant, la forme et la taille d'un bassin sont compréhensibles. Ce n'est pas le cas pour les systèmes plus compliqués :ceux dont les dimensions atteignent des dizaines ou des centaines ou plus peuvent avoir des géométries sauvages avec des limites fractales.

En fait, ils pourraient ressembler aux tentacules d'une pieuvre, selon les nouveaux travaux de Yuanzhao Zhang, physicien et SFI Schmidt Science Fellow, et de Steven Strogatz, mathématicien et écrivain à l'Université Cornell. Les géométries alambiquées de ces bassins de grande dimension ne peuvent pas être facilement visualisées, mais dans un nouvel article publié dans Physical Review Letters , les chercheurs décrivent un argument simple montrant pourquoi les bassins des systèmes à attracteurs multiples devraient ressembler à des pieuvres de grande dimension. Ils font valoir leur argument en analysant un modèle simple - un anneau d'oscillateurs qui, bien qu'ils n'interagissent que localement, peut produire une myriade d'états collectifs tels que la synchronisation en phase. Un nombre élevé d'oscillateurs couplés aura de nombreux attracteurs, et donc de nombreux bassins.

"Lorsque vous avez un système de grande dimension, les tentacules dominent la taille du bassin", explique Zhang.

Surtout, le nouveau travail montre que le volume d'un bassin de grande dimension ne peut pas être correctement approximé par un hypercube, aussi tentant soit-il. C'est parce que l'hypercube n'englobe pas la grande majorité (plus de 99 %) des points du bassin, qui sont disposés sur des tentacules.

Le document suggère également que le sujet des bassins de grande dimension regorge de potentiel pour une nouvelle exploration. "La géométrie est très éloignée de tout ce que nous connaissons", déclare Strogatz. "Il ne s'agit pas tant de ce que nous avons trouvé que de rappeler aux gens que tant de choses attendent d'être découvertes. C'est le début de l'exploration des bassins."

Le travail peut également avoir des implications dans le monde réel. Zhang cite le réseau électrique comme un exemple de systèmes importants de haute dimension avec de multiples bassins d'attraction. Comprendre quels points de départ mènent à quels résultats peut aider les ingénieurs à comprendre comment garder les lumières allumées.

"Selon la façon dont vous démarrez votre réseau, il évoluera soit vers un état de fonctionnement normal, soit vers un état perturbateur, comme une panne d'électricité", explique Zhang.