Une interprétation artistique d'une gerbe de discours, avec des espaces vectoriels (représentés par des rectangles) connectés à un réseau (représentés par une série de cercles, ou des nœuds, et les lignes de connexion, ou bords). Crédit :Robert Ghrist
Recherche publiée dans le Revue SIAM de Mathématiques Appliquées décrit un nouveau modèle mathématique pour étudier l'influence sur les réseaux sociaux. En utilisant des outils du domaine de la topologie, Robert Ghrist et Ph.D. le diplômé Jakob Hansen a développé un cadre pour suivre comment les opinions changent au fil du temps dans un large éventail de scénarios, y compris ceux où les individus peuvent utiliser des comportements trompeurs et les agents de propagande peuvent conduire au consensus d'un groupe.
Avec l'essor des plateformes de médias sociaux, il y a eu un intérêt accru pour le développement de différents types de modèles pour étudier le comportement sur les réseaux; en mathématiques, cela signifie étudier les réseaux, des groupes d'individus, connu sous le nom de nœuds, et leurs liens les uns avec les autres, connu sous le nom de bords. Le défi actuel, dit Ghrist, développe des cadres mathématiques qui peuvent incorporer un plus large éventail de fonctionnalités pour aider à modéliser des types de scénarios plus réels.
"Il y a beaucoup de gens qui proposent des modèles qui ont une ou deux nouveautés ; l'une permet d'avoir plusieurs opinions, un autre permet aux gens de mentir sélectivement à leurs voisins, et un autre a l'introduction d'un propagandiste, " dit-il. " Ce que nous cherchions à faire était de proposer un cadre qui puisse intégrer tous ces différents aspects, encore être en mesure de prouver des théorèmes rigoureux sur le comportement du modèle."
Pour faire ça, Ghrist et Hansen ont utilisé des outils topologiques appelés gerbes, précédemment utilisé dans leur groupe. Les faisceaux sont des structures de données algébriques, ou des collections d'espaces vectoriels, qui sont attachés à un réseau et relient les informations à des nœuds ou des bords individuels. En utilisant un réseau de transport comme exemple illustratif, où les gares sont des nœuds et les voies sont les bords, les gerbes sont utilisées pour transporter des informations sur le réseau, tels que le nombre de passagers ou le nombre de départs à l'heure, non seulement pour des stations spécifiques mais aussi sur les liaisons entre les stations.
"Ces espaces vectoriels peuvent avoir des caractéristiques et des dimensions différentes, et ils peuvent coder différentes quantités et types d'informations, " dit Ghrist. " Ainsi, le faisceau se compose de collections de vecteurs au-dessus de chaque nœud et de chaque arête avec des matrices qui les relient tous ensemble. Collectivement, il s'agit d'une grande structure de données flottant au-dessus de votre réseau."
L'un des concepts mathématiques de base qui ont permis ce travail était l'incorporation d'opérateurs laplaciens et de dynamique de diffusion dans le modèle. Les laplaciens ont été utilisés dans une étude classique de la dynamique d'opinion, qui a trouvé que, pour les personnes ayant une opinion graduée sur un sujet spécifique, tels que leur opinion du président de 1 à 10, interagir avec leurs voisins du réseau déplacerait leur opinion vers une moyenne locale.
"Si c'était un modèle précis, ce que cela signifierait, c'est que plus nous nous parlons sur les réseaux sociaux, plus nous en venons tous à croire la même chose, " dit Ghrist. " Cela n'a pas si bien fonctionné et nous amène au problème d'expliquer le clivage ou la polarisation. Donc, ce que nous faisons dans notre article, c'est construire ce nouveau cadre qui peut s'adapter à toutes sortes de rebondissements intéressants sur la situation classique. »
En incorporant les Laplaciens à leurs « rasages de discours, " les chercheurs ont pu créer un modèle de dynamique d'opinion incroyablement flexible et capable d'intégrer une grande variété de scénarios, paramètres, et fonctionnalités. Cela inclut la possibilité d'avoir des agents qui peuvent mentir sur leurs sentiments sur un sujet spécifique ou exprimer des opinions différentes aux autres en fonction de la façon dont ils sont connectés, le tout dans un cadre mathématique rigoureux et testable.
"L'innovation mathématique clé ici est un laplacien pour les gerbes qui permet au système d'évoluer de telle manière que vous pouvez prouver des résultats sur le consensus public. Ce que nous voyons lorsque nous exécutons certains exemples, c'est que vous pouvez avoir des systèmes où les gens commencent à être voisins et très en désaccord, et le système évolue naturellement vers un accord public tandis que les gens peuvent conserver leurs opinions privées, " dit Ghrist.
Une autre découverte intéressante, Ghrist dit, c'est comment, en utilisant la "co-homologie, " on peut caractériser quand ce modèle est à la fois observable et contrôlable, ce qui signifie que l'on peut faire évoluer un réseau social vers une opinion particulière en désignant des agents spécifiques comme entrées, ceux qui diffusent de la propagande, et d'autres comme sorties, ceux qui sont observés pour suivre le changement d'opinion. "Il existe des conditions dans lesquelles vous pouvez désigner un ensemble d'individus cibles et contrôler leurs opinions en semant le réseau avec de la propagande et en laissant le système évoluer, " dit Ghrist, ajoutant que, alors que les conclusions sont préoccupantes, il y a un écart entre l'utilisation de ces modèles pour étudier les réseaux et le contrôle de la diffusion des idées dans le monde réel.
La prochaine étape pour Ghrist et son groupe est de trouver des moyens de travailler avec des gerbes plus complexes, tels que ceux avec des déclarations logiques au lieu de valeurs numériques. « Les défis mathématiques associés à cela sont importants, et mon groupe et moi avons travaillé très dur pour essayer de lever toutes les mathématiques pour incorporer ces types de données plus complexes, " il dit.
Ghrist espère également que les chercheurs d'une variété d'autres domaines, de l'économie aux neurosciences, trouveront ces outils utiles en raison de leur adaptabilité et de leur flexibilité. "La théorie de la gerbe a été développée dans les années 1950, et pourtant c'est l'une de ces choses qui n'est jamais passée aux mathématiques appliquées en partie parce que c'est très abstrait, " dit-il. " Je travaille depuis environ 15 ans sur l'adaptation des idées des faisceaux et de la théorie des faisceaux dans un contexte que les gens peuvent utiliser en dehors des mathématiques, et j'espère que cet article va vraiment pousser les choses dans cette direction."
