Les lignes équiangulaires sont des lignes dans l'espace qui passent par un seul point, et dont les angles par paires sont tous égaux. Représentez en 2D les trois diagonales d'un hexagone régulier, et en 3D, les six lignes reliant les sommets opposés d'un icosaèdre régulier. Les mathématiciens ne sont pas limités à trois dimensions, toutefois.

« En grandes dimensions, les choses deviennent vraiment intéressantes, et les possibilités peuvent sembler illimitées, " dit Yufei Zhao, professeur adjoint de mathématiques.

Mais ils ne sont pas illimités, selon Zhao et son équipe de mathématiciens du MIT, qui a cherché à résoudre ce problème sur la géométrie des lignes dans l'espace de grande dimension. C'est un problème sur lequel les chercheurs s'interrogent depuis au moins 70 ans.

Leur percée détermine le nombre maximum possible de lignes pouvant être placées de manière à ce que les lignes soient séparées deux à deux par le même angle donné. Zhao a écrit l'article avec un groupe de chercheurs du MIT composé des étudiants de premier cycle Yuan Yao et Shengtong Zhang, doctorat étudiant Jonathan Tidor, et postdoctoral Zilin Jiang. (Yao a récemment commencé comme doctorant en mathématiques au MIT, et Jiang est maintenant membre du corps professoral de l'Arizona State University). Leur article sera publié dans le numéro de janvier 2022 de Annales de mathématiques .

Les mathématiques des lignes équiangulaires peuvent être codées en utilisant la théorie des graphes. L'article fournit de nouvelles perspectives dans un domaine des mathématiques connu sous le nom de théorie des graphes spectrales, qui fournit des outils mathématiques pour l'étude des réseaux. La théorie des graphes spectraux a conduit à des algorithmes importants en informatique tels que l'algorithme PageRank de Google pour son moteur de recherche.

Cette nouvelle compréhension des lignes équiangulaires a des implications potentielles pour le codage et les communications. Les lignes équiangulaires sont des exemples de "codes sphériques, " qui sont des outils importants en théorie de l'information, permettre à différentes parties de s'envoyer des messages sur un canal de communication bruyant, comme celles envoyées entre la NASA et ses rovers martiens.

Le problème de l'étude du nombre maximum de lignes équiangulaires avec un angle donné a été introduit dans un article de 1973 de P.W.H. Lemmens et J.J. Seidel.

"C'est un beau résultat fournissant une réponse étonnamment précise à un problème bien étudié en géométrie extrême qui a reçu une attention considérable dès les années 60, ", explique Noga Alon, professeur de mathématiques à l'université de Princeton.

Le nouveau travail de l'équipe du MIT fournit ce que Zhao appelle "une résolution satisfaisante à ce problème".

"Il y avait de bonnes idées à l'époque, mais ensuite les gens sont restés coincés pendant près de trois décennies, " dit Zhao. Il y a eu des progrès importants réalisés il y a quelques années par une équipe de chercheurs dont Benny Sudakov, professeur de mathématiques à l'Ecole polytechnique fédérale de Zurich (EPF) de Zurich. Zhao a accueilli la visite de Sudakov au MIT en février 2018 lorsque Sudakov a parlé lors du séminaire de recherche combinatoire de ses travaux sur les lignes équiangulaires.

Jiang a été inspiré pour travailler sur le problème des lignes équiangulaires sur la base des travaux de son ancien doctorat. conseiller Bukh Boris à l'Université Carnegie Mellon. Jiang et Zhao ont fait équipe à l'été 2019, et ont été rejoints par Tidor, Yao, et Zhang. "Je voulais trouver un bon projet de recherche d'été, et j'ai pensé que c'était un gros problème sur lequel travailler, " explique Zhao. " J'ai pensé que nous pourrions faire de beaux progrès, mais c'était définitivement au-delà de mes attentes pour résoudre complètement le problème."

La recherche a été partiellement financée par la Fondation Alfred P. Sloan et la National Science Foundation. Yao et Zhang ont participé à la recherche dans le cadre du programme d'été pour la recherche de premier cycle du département de mathématiques (SPUR), et Tidor était leur mentor étudiant diplômé. Leurs résultats leur avaient valu le prix Hartley Rogers Jr. du département de mathématiques pour le meilleur article SPUR.

"C'est l'un des résultats les plus réussis du programme SPUR, " dit Zhao. " Ce n'est pas tous les jours qu'un problème ouvert de longue date est résolu. "

L'un des outils mathématiques clés utilisés dans la solution est connu sous le nom de théorie des graphes spectrales. La théorie des graphes spectraux nous dit comment utiliser les outils de l'algèbre linéaire pour comprendre les graphes et les réseaux. Le "spectre" d'un graphe est obtenu en transformant un graphe en matrice et en regardant ses valeurs propres.

"C'est comme si vous projetiez un faisceau de lumière intense sur un graphique et que vous examiniez ensuite le spectre des couleurs qui en ressortent, " explique Zhao. " Nous avons constaté que le spectre émis ne peut jamais être trop fortement concentré près du sommet. Il s'avère que ce fait fondamental sur les spectres des graphes n'a jamais été observé."

Le travail donne un nouveau théorème dans la théorie des graphes spectraux, qu'un graphe de degré borné doit avoir une seconde multiplicité de valeurs propres sublinéaire. La preuve nécessite des idées intelligentes reliant le spectre d'un graphique avec le spectre de petits morceaux du graphique.

"La preuve a fonctionné proprement et magnifiquement, " dit Zhao. "Nous avons eu tellement de plaisir à travailler ensemble sur ce problème."