Un mathématicien de l'Université RUDN a suggéré un schéma de différence stable pour résoudre des problèmes inverses pour les équations télégraphiques elliptiques et différentielles qui sont utilisées pour décrire biologique, physique, et les processus sociologiques. Les résultats de l'étude ont été publiés dans le Méthodes numériques pour les équations aux dérivées partielles journal.

Les équations elliptiques sont une classe d'équations différentielles aux dérivées partielles qui sont utilisées, entre autres, pour modéliser des processus indépendants du temps. Les équations télégraphiques sont présentées sous une forme non stationnaire. Ils ont été initialement obtenus pour une ligne de communication télégraphique, mais aujourd'hui ils sont aussi utilisés pour modéliser le mouvement des insectes, la circulation du sang dans les veines, et les changements subis par les matériaux de construction. De plus, ils peuvent être inversés, c'est-à-dire utilisé pour trouver une source de changements basée sur des caractéristiques de processus connues, par exemple, pour identifier une cause de dommage matériel ou pour créer une image de tomographie optique à des fins de diagnostic médical. Il est souvent difficile d'obtenir des solutions précises pour des problèmes comme ceux-ci; donc, le problème initial est réduit à un système d'équations plus simples qui fournissent une réponse avec un certain degré d'approximation à la bonne. Un mathématicien de l'Université RUDN a suggéré un algorithme pour obtenir des solutions de problèmes inverses pour les équations télégraphiques elliptiques à l'aide d'un ordinateur.

"Plus un système modélisé est complexe, plus il contient de paramètres inconnus, et plus les calculs sont difficiles. Cependant, malgré la complexité de la tâche, les ordinateurs modernes peuvent être utilisés pour rechercher des solutions approximatives aux équations différentielles. Nous avons cherché à obtenir des schémas de différences stables absolus pour la solution approximative du problème d'identification de l'espace pour les équations télégraphiques elliptiques. Nos travaux pourraient aider à implémenter davantage ces méthodes dans la modélisation de divers processus, " a déclaré le professeur Allaberen Ashyralyev, un doctorat en Physique et Mathématiques du Département de Mathématiques Supérieures, Université RUDN.

Une façon d'obtenir une solution approchée est de remplacer le problème initial par des schémas aux différences. La zone étudiée est transformée en une grille avec une taille de pas donnée, et les fonctions sont remplacées par des valeurs de nœud. Le mathématicien a suggéré un schéma de différence et l'a ensuite étudié à la fois analytiquement et numériquement. La première méthode a été utilisée pour confirmer la stabilité absolue du schéma, et la seconde (une expérience numérique, c'est-à-dire une équation à laquelle le schéma a été appliqué) - pour étayer les résultats de l'analyse. Le scientifique a réussi à démontrer que le schéma était absolument stable et indépendant de la taille de pas de calcul choisie.

"Des équations elliptiques-télégraphiques similaires sont utilisées pour modéliser les systèmes biologiques, phénomènes sociologiques, et les processus d'ingénierie. Un schéma de différence stable absolue pourrait aider les spécialistes à mieux étudier ces questions, " a ajouté le professeur Allaberen Ashyralyev de l'Université RUDN.