Un mathématicien de l'Université RUDN a trouvé un nouveau critère pour la régularité des solutions généralisées des équations de l'hydrodynamique magnétique pour un fluide incompressible dans l'espace tridimensionnel. L'utilisation de ce critère simplifie la recherche de solutions à de telles équations et peut aider les métallurgistes à modéliser le comportement du métal en fusion, ainsi que des astrophysiciens pour décrire le plasma stellaire. L'article a été publié dans le Journal d'analyse mathématique et d'applications .

Le système d'équations de la magnétohydrodynamique décrit le comportement de tout liquide électriquement conducteur (métal en fusion, électrolytes) ou plasma en présence d'un champ magnétique, et se compose de deux équations différentielles qui relient le champ magnétique au champ de vitesse. Les solutions à ces systèmes peuvent être divisées en deux types :classiques et généralisées (solutions sur lesquelles la condition de différentiabilité n'est pas imposée). Contrairement aux solutions classiques, les généralisées nécessitent un contrôle de régularité (lisse). Les mathématiciens effectuent un tel contrôle en utilisant les critères de régularité.

Maria Alessandra Ragusa de l'Université RUDN et ses collègues ont découvert que les équations du système peuvent être réduites à une paire d'équations de forme similaire. Si vous échangez les inconnues, la première équation devient la seconde, et vice versa. Ce résultat peut être obtenu en utilisant la transposition de variables. Une combinaison des champs souhaités est choisie comme nouvelles variables :leur somme et leur différence. Le système devient symétrique par rapport à ses nouvelles inconnues. Cela signifie que les variables peuvent être échangées sans changer la solution. Cette approche simplifie la recherche de la réponse :au lieu de deux équations différentes, une paire de identiques est résolue.

Le professeur Ragusa a développé un critère de régularité pour les solutions généralisées au nouveau système. Elle s'exprime en dérivées partielles de combinaisons (somme et différence) du champ de vitesse et du champ magnétique. Le critère consiste en deux conditions égales :pour que la solution ait la propriété de régularité, il suffit qu'au moins l'un d'entre eux soit rempli. Une fois les solutions au nouveau système trouvées et vérifiées pour la régularité, le passage des nouvelles coordonnées aux champs souhaités devient facile.

Le critère stipule que les solutions sont lisses si le produit scalaire des dérivées partielles de ces solutions appartient à l'espace de Lebesgue avec la condition donnée.

Pour prouver la validité du critère, Le professeur Ragusa et ses collègues se sont appuyés sur le Ni, Guo, et le critère Zhou. En utilisant des estimations intégrales, elle a réussi à montrer qu'à partir de la condition de réalisation de son critère, l'accomplissement du Ni, Guo, et le critère Zhou, ce qui a déjà été prouvé, suit strictement, ce qui signifie que la solution est régulière.

Le critère trouvé par Ragusa et ses collègues est important car seules des solutions régulières (lisses) conviennent pour décrire les processus physiques. Seuls, ils décrivent correctement le comportement du fluide ou du plasma étudié.

L'utilisation de ce critère facilitera le travail des métallurgistes qui ont besoin de simuler le comportement du métal en fusion :de nombreuses opérations de fusion des métaux sont réalisées en exposant le métal liquide à un champ magnétique alternatif. Pour une description précise de ces processus, il est nécessaire de rechercher des solutions lisses aux systèmes d'équations de l'hydrodynamique magnétique. Plasma stellaire, qui peut être considéré comme un milieu continu, est également régie par les équations de l'hydrodynamique magnétique. De nouvelles solutions aux systèmes de ces équations permettront aux astrophysiciens d'en apprendre davantage sur le comportement du plasma à l'intérieur des étoiles.