Le professeur invité de l'Université RUDN Durvudkhan Suragan et une équipe de collègues ont obtenu et établi de nouveaux types d'inégalités fonctionnelles. Les inégalités de Hardy sont un type important de résolution de problèmes en physique mathématique. Les résultats de l'étude ont été publiés dans Avancées en mathématiques .

Les propriétés des inégalités dites de Hardy ont été étudiées par des mathématiciens du monde entier depuis environ un siècle. Ce sont des relations d'un certain type pour les séries et les intégrales. Les inégalités de Hardy sont étudiées en analyse fonctionnelle et utilisées comme instrument auxiliaire dans de nombreux domaines des mathématiques et de la mécanique, ainsi que dans la théorie des équations différentielles dégénérées (en dérivées partielles de type elliptique), théorie du spectre, analyse non linéaire et théorie de l'interpolation.

La majorité des études portant sur les inégalités de Hardy et leurs analogues sont réalisées dans des espaces vectoriels euclidiens. Du point de vue des mathématiques supérieures, un espace euclidien est un ensemble d'éléments arbitraires sur lesquels une opération de produit scalaire est donnée. Les espaces à deux et trois dimensions sont des cas particuliers d'espaces euclidiens. Une équipe de RUDN a étendu la théorie des inégalités de type Hardy et les a étudiées en termes d'objets mathématiques plus complexes :des groupes topologiques homogènes.

Un ensemble d'éléments est appelé groupe topologique s'il est à la fois un espace topologique et un groupe, et les opérations de dérivation du produit et de l'élément inverse sont continues. Un système de sous-ensembles (topologie) de propriétés spéciales se trouve dans un espace topologique. Outre les sous-ensembles eux-mêmes, la topologie comprend leurs agrégats constitués d'un nombre arbitraire d'éléments, ainsi que les intersections (seulement les finies), et des ensembles vides. La présence d'une structure de groupe signifie qu'une opération algébrique associative est donnée pour l'ensemble, il contient la soi-disant "figure d'un" (celle ayant les propriétés de 1 en se multipliant), et tous les éléments ont des inverses.

Les méthodes existantes d'établissement d'inégalités fonctionnelles dans des groupes topologiques homogènes reposent sur l'étude des propriétés des normes. Une norme en mathématiques est une fonction composite non négative qui répond à certaines exigences. Le module numérique et la longueur vectorielle sont des exemples simples de normes. Les nouvelles méthodes proposées par les auteurs de l'étude permettent de travailler avec des normes aléatoires, fonctions composites non strictement déterminées et fixes qui étaient utilisées auparavant.

Le résultat du travail de l'équipe a été l'obtention et l'établissement de nouveaux types d'inégalités de Hardy dans des groupes homogènes. Une attention particulière a été accordée à l'analyse dans les groupes abéliens. L'abélianité (ou commutativité) s'exprime dans l'indépendance d'un résultat d'opération de groupe par rapport à l'ordre des éléments. Un cas particulier de commutativité est la règle bien connue "permuter les sommes d'une somme ne change pas la valeur de la somme". Les scientifiques soulignent que les inégalités nouvellement obtenues peuvent être utilisées dans la théorie des équations différentielles non linéaires.

Les résultats de l'étude sont principalement théoriques et fondamentaux. Les résultats existants de l'analyse des inégalités de type Hardy ont été reconsidérés et étendus à de nouvelles classes d'objets mathématiques. Par conséquent, d'autres applications inconnues de ces inégalités peuvent être découvertes.