Par Chirantan Basu | Mis à jour le 30 août 2022
L'équation d'un plan dans un espace tridimensionnel peut être exprimée par ax + by + cz = d , où au moins une des constantes a , b , ou c est non nul. Lorsque trois points sont connus, le plan peut être dérivé à l'aide de produits vectoriels vectoriels, une technique géométrique fiable qui garantit une solution exacte.
Étiquetez les points A, B et C. À titre d'illustration, laissez A = (3, 1, 1), B = (1, 4, 2) et C = (1, 3, 4).
Choisissez deux vecteurs quelconques situés sur le plan. Un choix pratique est AB et AC :
AB = B – A = (1–3, 4–1, 2–1) = (–2, 3, 1)AC = C – A = (1–3, 3–1, 4–1) = (–2, 2, 3)
Le produit vectoriel de AB et AC donne un vecteur normal au plan :
AB × AC = (a₂b₃ – a₃b₂, a₃b₁ – a₁b₃, a₁b₂ – a₂b₁)
La substitution des coordonnées donne :
AB × AC = (3·3 – 1·2, 1·(–2) – (–2)·3, (–2)·2 – 3·(–2)) = (7, 4, 2)
Ainsi, le vecteur normal N est (7, 4, 2) .
En utilisant le point C (ou tout point connu) et le vecteur normal, l'équation du plan est :
7(x – 1) + 4(y – 3) + 2(z – 4) = 0
En développant et en simplifiant, vous obtenez le formulaire standard :
7x + 4y + 2z = 27
Remplacez chacun des points d'origine dans l'équation pour confirmer qu'ils la satisfont. Les trois points satisfont à 7x + 4y + 2z = 27 , validant le calcul.
Utilisez des produits vectoriels vectoriels pour trouver le vecteur normal d'un plan, puis branchez n'importe quel point dans la forme du produit scalaire pour obtenir l'équation du plan.
