Par Chris Deziel, mis à jour le 30 août 2022
Dutko/iStock/GettyImages
Les logarithmes peuvent transformer un problème algébrique autrement simple en un problème épineux. Ils sont souvent considérés comme fastidieux, difficiles à manipuler et quelque peu mystérieux. La bonne nouvelle est que les supprimer d'une équation est simple une fois que l'on se souvient qu'un logarithme est simplement l'inverse d'un exposant.
Bien que la base d'un logarithme puisse être n'importe quel nombre positif, les bases les plus courantes en science sont 10 et le nombre d'Euler e . En mathématiques, « log » désigne un logarithme en base 10 et « ln » désigne un logarithme népérien de base e .
Pour éliminer les logarithmes, élevez les deux côtés de l’équation à la même puissance que la base du logarithme. Si l'équation contient plusieurs logarithmes, déplacez-les tous d'un côté et simplifiez d'abord.
Un logarithme répond à la question « à quelle puissance faut-il élever la base pour produire un nombre donné ? » En d’autres termes, le logarithme d’un nombre est l’exposant nécessaire pour obtenir ce nombre à partir de la base. Par exemple, \(\log_8 2 =6\) signifie que 8 2 =64 . Dans la notation courante \(\log x =100\) , la base est considérée comme étant 10, donc la question devient « 10 élevé à quelle puissance est égal à 100 ? La réponse est 2, car 10 2 =100 .
Parce qu'un logarithme est l'opération inverse de l'exponentiation, les équations contenant des logarithmes peuvent souvent être « démêlées » en appliquant l'exposant approprié aux deux côtés. Cela fonctionne tant que tous les logarithmes impliqués partagent la même base.
Logarithme simple
\(\log x =y\)
Élevez les deux côtés à la puissance 10 :\(10^{\log x} =10^y\) . Depuis 10^{\log x} =x , on obtient \(x =10^y\) .
Tous les termes sont des logarithmes
\(\log (x^2 - 1) =\log (x + 1)\)
Exponentiez les deux côtés en base 10 :\(x^2 - 1 =x + 1\) . Simplifiez pour obtenir \(x^2 - x - 2 =0\) , dont les solutions sont \(x =-2\) ou \(x =1\) .
Logarithmes mixtes et termes algébriques
Suivez ces étapes :
1. Commencez par l'équation, par exemple :\(\log x =\log (x - 2) + 3\) .
2. Déplacez tous les logarithmes d'un côté :\(\log x - \log (x - 2) =3\) .
3. Appliquez les lois du logarithme :\(\log \left(\frac{x}{x-2}\right) =3\) .
4. Exponent les deux côtés en base 10 :\(\frac{x}{x-2} =10^3\) .
5. Résolvez pour x :\(x =1000x - 2000 \Rightarrow -999x =-2000 \Rightarrow x =\frac{2000}{999} \environ 2,002\) .
En appliquant systématiquement ces règles, vous pouvez éliminer les logarithmes de presque toutes les équations algébriques.