Par Allan Robinson | Mis à jour le 30 août 2022
Comprendre la relation entre la surface d’un solide et son volume est essentiel pour les ingénieurs, les architectes et les étudiants. Ce guide explique comment dériver le volume en utilisant la surface pour une variété de formes (des simples prismes aux sphères complexes) sans recourir à des calculs avancés.
Considérez un solide S délimité par deux plans parallèles appelés les bases . Si chaque section transversale parallèle à ces bases a la même aire que les bases, la situation est idéale pour un calcul simple.
b être l'aire de la base (et de toute section transversale).h être la distance perpendiculaire entre les deux plans de base.Pour de tels solides, le volume est simplement le produit de la surface de base et de la hauteur :
V =bh
Les prismes et les cylindres correspondent à ce modèle, mais la formule s'applique également à toute forme qui satisfait à la condition de section transversale uniforme.
Maintenant, imaginez un P solide formé d'une base et d'un seul sommet. Laissez :
h =distance du sommet à la base.z =distance de la base à une section transversale qui lui est parallèle.b =aire de la base.c =aire de la section transversale.Pour une telle section transversale, le rapport des surfaces est le suivant :
(h – z)/h = c/b
L'application de la relation d'échelle donne la formule classique pour les pyramides et les cônes :
V =(bh)/3
Cela fonctionne pour n'importe quelle forme de base, à condition que la condition de proportionnalité soit respectée.
La surface d'une sphère est donnée par A = 4πr² . Intégrer cette zone par rapport au rayon r donne la formule de volume familière :
V =(4/3)πr³
Ainsi, même les solides les plus sphériques peuvent avoir leur volume dérivé de leur surface.
En maîtrisant ces étapes, vous pouvez calculer en toute confiance le volume d'une large gamme de solides en utilisant uniquement leur surface et leurs relations géométriques de base.