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Lorsqu’il s’agit d’exposants énormes, la clé d’une solution claire est de décomposer le problème à l’aide de la factorisation. En réduisant l'exposant à ses composantes premières, vous pouvez alors appliquer la règle des puissances des exposants. Alternativement, si l’exposant peut être exprimé comme une somme d’entiers plus petits, la règle du produit offre un chemin plus simple. Avec quelques problèmes de pratique, vous serez en mesure de choisir la stratégie la plus efficace pour n'importe quelle situation.
Par exemple, considérons l'exposant 24 :
24 =2 × 12 =2 × 2 × 6 =2 × 2 × 2 × 3
La règle de puissance stipule que (x^a)^b =x^{a\times b} . Ainsi :
6^{24} =6^{(2\times2\times2\times3)} =(((6^2)^2)^2)^3
Étape par étape :
(((((6^2)^2)^2)^3)
= ((36^2)^2)^3
= (1296^2)^3
= 1679616^3
= 4.738 × 10^{18}
Réécrivez 24 comme une somme de petits entiers non triviaux, par exemple :
24 =12 + 12 =6 + 6 + 6 + 6 =3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3
La règle du produit indique x^a × x^b =x^{a+b} . Donc :
6^{24} =6^{(3+3+3+3+3+3+3+3)} =6^3 × 6^3 × 6^3 × 6^3 × 6^3 × 6^3 × 6^3 × 6^3
6^{24}
= 6^3 × 6^3 × 6^3 × 6^3 × 6^3 × 6^3 × 6^3 × 6^3
= 216 × 216 × 216 × 216 × 216 × 216 × 216 × 216
= 46656 × 46656 × 46656 × 46656
= 4.738 × 10^{18}