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Lorsqu’il s’agit d’exposants énormes, la clé d’une solution claire est de décomposer le problème à l’aide de la factorisation. En réduisant l'exposant à ses composantes premières, vous pouvez alors appliquer la règle des puissances des exposants. Alternativement, si l’exposant peut être exprimé comme une somme d’entiers plus petits, la règle du produit offre un chemin plus simple. Avec quelques problèmes de pratique, vous serez en mesure de choisir la stratégie la plus efficace pour n'importe quelle situation.

Méthode de règle de puissance

1. Trouver les facteurs premiers de l'exposant

Par exemple, considérons l'exposant 24 :

24 =2 × 12 =2 × 2 × 6 =2 × 2 × 2 × 3

2. Appliquer la règle de puissance

La règle de puissance stipule que (x^a)^b =x^{a\times b} . Ainsi :

6^{24} =6^{(2\times2\times2\times3)} =(((6^2)^2)^2)^3

3. Calculer de l'intérieur vers l'extérieur

Étape par étape :

(((((6^2)^2)^2)^3)
= ((36^2)^2)^3
= (1296^2)^3
= 1679616^3
= 4.738 × 10^{18}

Méthode de règle de produit

1. Déconstruire l'exposant en une somme

Réécrivez 24 comme une somme de petits entiers non triviaux, par exemple :

24 =12 + 12 =6 + 6 + 6 + 6 =3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3

2. Appliquer la règle du produit

La règle du produit indique x^a × x^b =x^{a+b} . Donc :

6^{24} =6^{(3+3+3+3+3+3+3+3)} =6^3 × 6^3 × 6^3 × 6^3 × 6^3 × 6^3 × 6^3 × 6^3

3. Calculer le résultat

6^{24}
= 6^3 × 6^3 × 6^3 × 6^3 × 6^3 × 6^3 × 6^3 × 6^3
= 216 × 216 × 216 × 216 × 216 × 216 × 216 × 216
= 46656 × 46656 × 46656 × 46656
= 4.738 × 10^{18}