Par Sky Smith
Mise à jour :27 février 2025 à 19 h 24 HNE
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La factorisation de polynômes cubiques est un outil puissant qui révèle les zéros d’une fonction, indiquant où le graphique change de direction et simplifiant une analyse plus approfondie. Bien que la factorisation quadratique soit simple, les cubiques nécessitent souvent une approche systématique. Vous trouverez ci-dessous une méthode éprouvée et approuvée par des experts pour factoriser efficacement n'importe quel polynôme de degré 3.
Identifiez un modèle dans lequel le polynôme peut être divisé en deux groupes partageant un facteur commun. Par exemple, considérons F(x) = x³ – x² – 4x + 4 . Regroupez les termes :
x²(x – 1) – 4(x – 1)Extrayez le facteur binomial partagé (x – 1) :
(x² – 4)(x – 1)Appliquez la règle de la différence des carrés au quadratique restant :
(x – 2)(x + 2)(x – 1)Tous les facteurs sont désormais premiers.
Lorsqu'un polynôme est constitué de deux termes, chacun étant un cube parfait, utilisez les identités standards :
(2x – 5)(4x² + 10x + 25)Le quadratique est irréductible sur les entiers, donc la factorisation s'arrête ici.
Vérifiez si une variable ou une constante multiplie tous les termes. Pour H(x) = x³ – 4x , factorisez x :
H(x) = x(x² – 4)Appliquez ensuite l'astuce de la différence des carrés :
H(x) = x(x – 2)(x + 2)
Lorsque le regroupement, les cubes et les GCF sont insuffisants, trouvez une racine rationnelle à l'aide du théorème des facteurs. Pour P(x) = x³ – 4x² – 7x + 10 , testez les candidats entiers ±1, ±2, ±5, ±10. On trouve
P(5) = 0Ainsi (x – 5) est un facteur. La division par ce binôme donne
P(x) = (x – 5)(x² + x – 2)Les facteurs quadratiques en outre :
(x – 5)(x – 1)(x + 2)