La loi des sinus est la pierre angulaire de la trigonométrie, reliant les angles d’un triangle à la longueur de ses côtés. En connaissant au moins deux côtés et un angle (ou deux angles et un côté), vous pouvez découvrir les pièces manquantes de tout triangle non rectangle. Dans de rares situations, cependant, cette règle peut produire deux solutions valables pour un même angle. Ce phénomène est connu sous le nom de cas ambigu.
Le cas ambigu se produit uniquement dans une configuration SSA (side-side-angle), où l'angle connu n'est pas inclus entre les deux côtés connus. Si l'angle se situe entre les côtés (SAS), le triangle est déterminé de manière unique et le cas ambigu ne se pose pas. D'autres configurations (SSS, ASA, AAA) ont leurs propres propriétés, mais SSA est le seul paramètre dans lequel une deuxième solution peut émerger.
Pour le triangle ABC avec des longueurs de côtés a, b, c angles opposés A, B, C , la loi des sinus peut être exprimée sous deux formes équivalentes :
1. Rapport côté-sinusoïdal (utile pour déterminer les côtés) :
\(\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}\)
2. Rapport angle/sinus (utile pour résoudre les angles) :
\(\frac{\sin A}{a}=\frac{\sin B}{b}=\frac{\sin C}{c}\)
L’une ou l’autre forme peut être utilisée ; le choix dépend si vous résolvez un côté ou un angle.
Supposons qu'on vous donne un triangle SSA :angle A =35°, côté a =25 unités, côté b =38 unités, et vous devez trouver l'angle B . Branchez les valeurs connues dans le deuxième formulaire :
\(\frac{\sin 35°}{25}=\frac{\sin B}{38}\)
Réorganiser pour isoler sinB :
\(\sin B=\frac{38}{25}\times\sin 35°\)
À l'aide d'une calculatrice, sin35° ≈ 0,57358 , donc :
\(\sin B≈\frac{38}{25}\times0.57358=0.87184\)
Prendre le sinus inverse donne une solution initiale :B ≈ 61° .
Parce que le sinus d'un angle aigu est égal au sinus de son angle obtus supplémentaire, la valeur 0,87184 pourrait aussi correspondre à B ≈ 119° (puisque 180°−61°=119°). Pour déterminer si ce deuxième angle est viable, vérifiez que la somme des angles connus et de l'angle candidat reste inférieure à 180° :
35°+119°=154° <180°, donc les deux angles sont possibles. Par conséquent, le triangle a deux solutions valides :une avec B ≈ 61° et un autre avec B ≈ 119° . Chaque solution donne une longueur différente pour le troisième côté c et une mesure différente pour l'angle C .
Lorsque vous rencontrez un triangle SSA, vérifiez toujours cet angle supplémentaire. Si la somme dépasse 180°, la solution obtuse est impossible, ne laissant que l'angle aigu comme résultat valable.
La maîtrise de cette vérification garantit une résolution précise des problèmes et une compréhension plus approfondie de la géométrie des triangles.