Par Jacob Reis | Mis à jour le 30 août 2022
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En mathématiques, les termes limités et illimité apparaissent dans divers sous-domaines. Comprendre leurs significations précises permet d'éviter toute confusion, en particulier lorsqu'elles sont appliquées à des fonctions, des opérateurs et des ensembles.
Une fonction limitée est celui dont la portée se situe entre deux limites finies. Dans un graphique, cela signifie que les valeurs de la fonction peuvent être capturées par deux lignes horizontales. Par exemple, la fonction sinusoïdale oscille entre –1 et 1, elle est donc limitée. Mathématiquement, une fonction f définie sur un ensemble X (à valeurs réelles ou complexes) est bornée s'il existe M > 0 tel que |f(x)| ≤ M pour chaque x ∈ X.
À l'inverse, une fonction illimitée n'a pas de telles limites supérieures ou inférieures finies ; ses valeurs peuvent devenir arbitrairement grandes (ou petites). Des fonctions telles que f(x) = 1/x (définies pour x ≠ 0) ou f(x) = x² sont illimitées sur leurs domaines respectifs.
En analyse fonctionnelle, les opérateurs agir sur les éléments d'un espace vectoriel. Un opérateur A est appelé limité s'il existe une constante C telle que ‖A(x)‖ ≤ C‖x‖ pour tous x dans son domaine. Si aucune constante de ce type n'existe, l'opérateur est illimité . Selon l'Encyclopédie des mathématiques , un opérateur illimité mappe un ensemble limité dans son domaine à un ensemble illimité dans son codomaine.
Un ensemble de nombres est limité lorsqu'il a à la fois une limite finie supérieure et inférieure. Les exemples classiques incluent l'intervalle [2, 401) et la séquence {1,½,⅓,¼,…}. Un illimité il manque à l'ensemble au moins une de ces limites finies ; par exemple, l'ensemble de tous les entiers positifs ℕ est illimité car il n'a pas de limite supérieure finie.
