En mathématiques, aucun chercheur ne travaille dans un véritable isolement. Même ceux qui travaillent seuls utilisent les théorèmes et les méthodes de leurs collègues et prédécesseurs pour développer de nouvelles idées.

Mais lorsqu'une technique connue est trop difficile à utiliser en pratique, les mathématiciens peuvent négliger des problèmes importants – et autrement solubles.

Récemment, J'ai rejoint plusieurs mathématiciens sur un projet visant à rendre l'une de ces techniques plus facile à utiliser. Nous avons produit un progiciel pour résoudre un problème appelé "équation de l'unité S, " avec l'espoir que les théoriciens des nombres de tous bords puissent plus facilement attaquer une grande variété de problèmes non résolus en mathématiques.

Équations diophantiennes

Dans son texte « Arithmetica, " le mathématicien Diophante s'est penché sur les équations algébriques dont les solutions doivent être des nombres entiers. En l'occurrence, ces problèmes ont beaucoup à voir avec la théorie des nombres et la géométrie, et les mathématiciens les étudient depuis.

Pourquoi ajouter cette restriction des solutions de nombres entiers uniquement ? Parfois, les raisons sont pratiques; cela n'a pas de sens d'élever 13,7 moutons ou d'acheter -1,66 voitures. En outre, les mathématiciens sont attirés par ces problèmes, maintenant appelées équations diophantiennes. L'attrait vient de leur difficulté surprenante, et leur capacité à révéler des vérités fondamentales sur la nature des mathématiques.

En réalité, les mathématiciens sont souvent indifférents aux solutions spécifiques à un problème diophantien particulier. Mais lorsque les mathématiciens développent de nouvelles techniques, leur puissance peut être démontrée en réglant des équations diophantiennes non résolues auparavant.

La preuve d'Andrew Wiles du dernier théorème de Fermat est un exemple célèbre. Pierre de Fermat revendiquait en 1637 – en marge d'un exemplaire de « Arithmetica, " rien de moins – avoir résolu l'équation diophantienne xⁿ + yⁿ =zⁿ, mais n'a offert aucune justification. Quand Wiles l'a prouvé plus de 300 ans plus tard, les mathématiciens l'ont immédiatement remarqué. Si Wiles avait développé une nouvelle idée qui pourrait résoudre Fermat, alors qu'est-ce que cette idée pourrait faire d'autre ? Les théoriciens des nombres se sont précipités pour comprendre les méthodes de Wiles, les généraliser et trouver de nouvelles conséquences.

Il n'existe pas de méthode unique qui puisse résoudre toutes les équations diophantiennes. Au lieu, les mathématiciens cultivent diverses techniques, chacun adapté à certains types de problèmes diophantiens mais pas à d'autres. Les mathématiciens classent donc ces problèmes selon leurs caractéristiques ou leur complexité, tout comme les biologistes pourraient classer les espèces par taxonomie.

Classement plus fin

Cette classification produit des spécialistes, car différents théoriciens des nombres se spécialisent dans les techniques liées aux différentes familles de problèmes diophantiens, comme les courbes elliptiques, formes binaires ou équations de Thue-Mahler.

Au sein de chaque famille, la classification plus fine est personnalisée. Les mathématiciens développent des invariants – certaines combinaisons des coefficients apparaissant dans l'équation – qui distinguent différentes équations dans la même famille. Le calcul de ces invariants pour une équation spécifique est facile. Cependant, les liens plus profonds avec d'autres domaines des mathématiques impliquent des questions plus ambitieuses, telles que :"Y a-t-il des courbes elliptiques avec l'invariant 13 ?" ou "Combien de formes binaires ont l'invariant 27?"

L'équation de l'unité S peut être utilisée pour résoudre bon nombre de ces questions plus importantes. Le S fait référence à une liste de nombres premiers, comme {2, 3, 7}, liés à la question particulière. Une unité S est une fraction dont le numérateur et le dénominateur sont formés en multipliant uniquement les nombres de la liste. Donc dans ce cas, 3/7 et 14/9 sont des unités S, mais 6/5 ne l'est pas.

L'équation de l'unité S est d'une simplicité trompeuse à énoncer :trouvez toutes les paires d'unités S qui s'ajoutent à 1. Trouver des solutions, comme (3/7, 4/7), peut être fait avec un stylo et du papier. Mais le mot clé est "tous, " et c'est ce qui rend le problème difficile, à la fois théoriquement et informatiquement. Comment être sûr que toutes les solutions ont été trouvées ?

En principe, les mathématiciens savent résoudre l'équation de l'unité S depuis plusieurs années. Cependant, le processus est si compliqué que personne ne pourrait jamais réellement résoudre l'équation à la main, et peu de cas ont été résolus. C'est frustrant, parce que de nombreux problèmes intéressants ont déjà été réduits à "juste" résoudre une équation particulière de l'unité S.

Comment fonctionne le solveur

Les circonstances changent, toutefois. Depuis 2017, six théoriciens des nombres à travers l'Amérique du Nord, moi-même inclus, ont construit un solveur d'équations en unités S pour le logiciel de mathématiques open source SageMath. Le 3 mars, nous avons annoncé l'achèvement du projet. Pour illustrer son application, nous avons utilisé le logiciel pour résoudre plusieurs problèmes diophantiens ouverts.

La principale difficulté de l'équation de l'unité S est que même si seule une poignée de solutions existe, il existe une infinité d'unités S qui pourraient faire partie d'une solution. En combinant un théorème célèbre d'Alan Baker et une technique algorithmique délicate de Benne de Weger, le solveur élimine la plupart des unités S de la considération. Même à ce stade, il peut rester des milliards d'unités S - ou plus - à vérifier ; le programme essaie maintenant de rendre la recherche finale aussi efficace que possible.

Cette approche de l'équation de l'unité S est connue depuis plus de 20 ans, mais n'a été utilisé qu'avec parcimonie, parce que les calculs impliqués sont compliqués et prennent du temps. Précédemment, si un mathématicien rencontrait une équation S-unité qu'elle voulait résoudre, il n'y avait aucun moyen automatisé de le résoudre. Elle devrait parcourir soigneusement le travail de Baker, de Weger et autres, puis écrire son propre programme informatique pour effectuer les calculs. L'exécution du programme peut prendre des heures, jours voire des semaines pour que les calculs se terminent.

Notre espoir est que le logiciel aidera les mathématiciens à résoudre des problèmes importants de la théorie des nombres et à améliorer leur compréhension de la nature, beauté et efficacité des mathématiques.

Cet article est republié à partir de The Conversation sous une licence Creative Commons. Lire l'article original.