Igor Kisselev/Shutterstock
Lorsque vous avez besoin d'un vecteur perpendiculaire à un vecteur donné, les techniques de produit scalaire et de produit croisé fournissent des méthodes claires et fiables. Un produit scalaire nul signale l'orthogonalité, tandis que le produit vectoriel de deux vecteurs non parallèles donne un vecteur perpendiculaire aux deux.
Supposons un vecteur inconnu V =(v1 , v2 ). Ce vecteur sera perpendiculaire au vecteur connu U =(u1 , u2 ).
Calculer le produit scalaire :V · U =u1 v1 + u2 v2 . Par exemple, si U =(–3, 10), alors V · U =–3v1 + 10v2 .
Définissez le produit scalaire sur zéro et résolvez pour un composant :–3v1 + 10v2 =0 ⇒ v2 =(3/10)v1 .
Sélectionnez n'importe quelle valeur pour v1; par exemple, laissez v1 =1.
Calculer v2 =0,3. Ainsi V =(1, 0.3) est perpendiculaire à U =(–3, 10). Choisir v1 =–1 donne V ′ =(–1, –0,3), la direction opposée. Tout multiple scalaire de l'un ou l'autre vecteur reste perpendiculaire et la normalisation à la longueur unitaire donne W =V / √(1² + 0,3²) =(1/√10, 0,3/√10).
Définir un vecteur inconnu V =(v1 , v2 , v3 ).
Calculer le produit scalaire avec un vecteur connu U =(10, 4, –1) :V · U =10v1 + 4v2 – v3 .
Définissez le produit scalaire sur zéro, ce qui donne l'équation plane 10v1 + 4v2 – v3 =0. Tout vecteur satisfaisant cette relation est perpendiculaire à U .
Choisissez des valeurs pratiques, par exemple v1 =1 et v2 =1, puis résolvez pour v3 =10 + 4 =14. Cela donne V =(1, 1, 14).
Vérifier l'orthogonalité :V · U =10(1) + 4(1) – 14 =0. Ainsi V est bien perpendiculaire à U .
Sélectionnez n'importe quel vecteur non parallèle à U . Un choix pratique est un vecteur de base, tel que X =(1, 0, 0).
Calculez le produit vectoriel :W =X × U =(0, 1, 4) lorsque U =(10, 4, –1).
Confirmer la perpendiculaire :W · U =0·10 + 1·4 + 4·(–1) =0. L'utilisation de différents vecteurs non parallèles comme (0, 1, 0) ou (0, 0, 1) produira d'autres vecteurs perpendiculaires, tous situés dans le plan défini par 10v1 + 4v2 – v3 =0.