Un mathématicien de l'Université RUDN a étudié les propriétés des fronts d'onde dans les modèles de réaction-diffusion. Les résultats permettront d'étudier la propagation des virus dans les tissus et de prédire l'évolution des écosystèmes. L'article a été publié dans la revue Non-linéarité .

Les modèles de réaction-diffusion représentent des généralisations de l'équation de diffusion de Fick; ils décrivent la concentration d'une substance dans un milieu en fonction de la coordonnée spatiale et du temps. Le taux de variation de la concentration est proportionnel à la dérivée seconde de la concentration par rapport à la coordonnée. Les équations de réaction-diffusion décrivent non seulement la diffusion mais aussi la réaction chimique, ce qui rend ces modèles plus intéressants et difficiles à étudier.

L'un des types de modèles de réaction-diffusion est les modèles à retardement, dans lequel le terme non linéaire (la vitesse de réaction) ne dépend pas seulement de la fonction inconnue à un instant donné, mais aussi sur sa valeur il y a quelque temps. De tels modèles apparaissent en écologie mathématique, par exemple, où le retard dans les équations est lié à la période de maturation d'un individu, c'est à dire., la période pendant laquelle l'animal ne participe pas à la reproduction et n'affecte pas la croissance de la population. Des problèmes similaires se posent dans la théorie du contrôle :il existe souvent des systèmes qui répondent à l'exposition avec un retard. Aussi, les résultats peuvent être appliqués à la modélisation mathématique en biomédecine.

Un mathématicien de l'Université RUDN, Vitaly Volpert, avec un collègue chilien, considéré comme une version auparavant inexplorée de l'équation de réaction-diffusion à retardement.

Des travaux antérieurs ont considéré des modèles limités par la monotonie dans le terme de réaction, qui limitaient leur application aux nouveaux problèmes de biologie mathématique et d'écologie. Mais dans les nouveaux travaux, deux versions plus complexes de l'équation de réaction-diffusion sont envisagées.

Les travaux ont prouvé l'existence de solutions avec des fronts d'onde monotones à un type spécifique d'équations de réaction-diffusion bistables. La signification physique de tels processus peut être expliquée comme suit :le système a deux états stables et le front d'onde se propage d'un équilibre stable à un autre.

Les mathématiciens ont découvert que, selon la vitesse de la vague, l'un des deux scénarios de développement des fronts d'onde est réalisé. Dans le premier cas, les vagues sont toujours monotones, et dans la seconde, dans lequel il y a de gros retards, ils commencent à osciller.

Les résultats obtenus permettent d'appliquer des modèles de réaction-diffusion à de nouveaux problèmes du monde réel. Par exemple, les scientifiques peuvent désormais modéliser mathématiquement la propagation des virus dans les tissus. Cela donnera des réponses aux questions sur la façon dont le développement de la maladie dépend de la charge virale initiale et de la vitesse et de l'intensité de la réponse du système immunitaire. En pratique, cela améliorera la précision des tests qui détectent les maladies chroniques.

Aussi, de nouveaux résultats permettent de prendre en compte l'effet Allee, c'est à dire., la relation entre la taille de la population et son taux de reproduction. Dans l'économie, cela aidera à optimiser les fermes piscicoles et à sauver les espèces menacées. En général, les découvertes scientifiques dans ce domaine ont de nombreuses applications non seulement en biologie mathématique et en écologie, mais aussi dans des problèmes de cinétique chimique et de théorie du contrôle.