Un mathématicien de l'Université RUDN (Russie) et un collègue ont déterminé les conditions de stabilisation d'inégalités différentielles d'ordre élevé. Ce résultat permettra aux mathématiciens d'obtenir des restrictions sur les solutions des équations qui décrivent certains processus physiques, tels que les processus de diffusion et les processus de convection. L'article est publié dans la revue Analyse asymptotique .

L'intérêt pour les inégalités différentielles découle d'un grand nombre de problèmes de modélisation mathématique en sciences naturelles, ainsi que dans la résolution de problèmes techniques et physiques. Il est souvent nécessaire de définir plusieurs fonctions liées à plusieurs inégalités différentielles. Il faut pour cela avoir le même nombre d'inégalités. Si chacune de ces inégalités est différentielle, C'est, a la forme d'une relation reliant des fonctions inconnues et leurs dérivées, c'est un système d'inégalités différentielles. Les systèmes d'inégalités différentielles décrivent des processus physiques réels avec un certain degré de précision (par exemple, appareils qui enregistrent des phénomènes physiques ne sont pas parfaits et comportent quelques erreurs). Il peut s'avérer qu'une petite erreur dans les données initiales entraîne des changements significatifs dans la solution de l'inégalité. Par conséquent, il est important de fixer des limites sur les solutions des équations différentielles.

Andrey Shishkov de S.M. Nikol'skii Mathematical Institute de l'Université RUDN et Andrej Kon'kov de l'Université d'État de Moscou ont obtenu le résultat, qui généralise la condition classique de Keller-Osserman pour les équations différentielles. Le théorème de Keller-Osserman contient des conditions pour l'absence de solutions positives pour les inégalités elliptiques non linéaires du second ordre. Ce théorème sert de base aux études d'absence de solutions pour les équations et les inégalités. De plus, pour les opérateurs différentiels d'ordre élevé, toutes les études précédemment connues étaient limitées au cas de la non-linéarité de puissance. Le cas de la non-linéarité arbitraire n'a été étudié que pour les opérateurs du second ordre. Les mathématiciens ont étudié les inégalités différentielles d'ordre supérieur et leur résultat s'applique à une large classe de problèmes :les équations du deuxième et du troisième ordre.

Les résultats peuvent être appliqués à la fois aux inégalités paraboliques et aux inégalités dites anti-paraboliques. Les équations paraboliques sont très répandues en physique :elles incluent les équations qui décrivent les processus de convection, la diffusion et son cas particulier :l'équation de conduction thermique; le système d'équations de Navier-Stokes décrivant le mouvement des liquides et des gaz est un système d'équations paraboliques avec des contraintes divergentes.

Les questions ont été précédemment étudiées principalement pour les opérateurs différentiels du second ordre, et le cas des opérateurs d'ordre supérieur est beaucoup moins étudié. Les mathématiciens ont recherché des inégalités différentielles d'ordre supérieur et obtenu des conditions de stabilisation suffisantes pour les solutions dites faibles d'inéquations différentielles. À la fois, les conditions initiales ne sont pas stipulées sur les solutions de l'inégalité différentielle étudiée. Les auteurs ne stipulent pas non plus de conditions d'ellipticité sur les coefficients de l'opérateur différentiel.