Un mathématicien de l'Université RUDN a prouvé pour la première fois le théorème d'existence et d'unicité des solutions de l'équation de Zakharov-Kuznetsov dans une bande. De tels théorèmes sont très rares pour les équations aux dérivées partielles. Les nouveaux résultats peuvent être appliqués dans des domaines tels que l'astrophysique, par exemple, pour décrire la propagation des ondes planes dans le plasma. L'article est publié dans la revue Analyse non linéaire :applications du monde réel .

L'équation de Zakharov-Kuznetsov est une équation à une fonction de deux variables x et y. Pour la physique, x est la direction de propagation des ondes, et la déformation du milieu se produit selon la direction perpendiculaire y. Par exemple, dans l'oscillation d'une corde de guitare, la vague semble courir le long de la corde, tandis que les oscillations se produisent perpendiculairement par rapport à la course de l'onde.

Il existe un grand nombre de résultats qui décrivent des solutions des équations de Zakharov-Kuznetsov dans le cas où il n'y a pas de contraintes sur y. Mais la question de la propagation des ondes dans la bande - lorsque y est limité - n'a été étudiée de manière approfondie que récemment.

Les mathématiciens de l'Université RUDN ont traité l'équation de Zakharov-Kuznetsov dans la bande. Ils ont examiné trois cas principaux :lorsqu'il n'y a pas d'oscillations à la limite de la bande, quand il n'y a pas de courant sur la même frontière, et lorsque les conditions aux limites sont de structure périodique. Ce dernier cas correspond à la propagation d'ondes dans un milieu dont la structure est périodique en x.

Dans tous ces cas, les mathématiciens ont réussi à prouver des théorèmes d'existence et l'unicité de leurs solutions. Pour les systèmes d'équations aux dérivées partielles, qui incluent l'équation de Zakharov-Kuznetsov, de telles équations sont très rares.

Ces résultats sont les premiers pour les solutions de l'équation avec des conditions initiales dans la bande. Écoulements de plasma plats avec conditions aux limites, qui figuraient parmi les phénomènes considérés par les scientifiques de l'Université RUDN, peut se produire en physique et en astrophysique.

Les équations de Zakharov-Kuznetsov appartiennent à une catégorie plus large d'équations connues sous le nom d'équations de Korteweg-de Vries. Dans l'étude de cette catégorie d'équations, il est désormais possible de décrire des solitons, des ondes dont la forme ne change pas au cours du mouvement. Les physiciens considèrent les solitons comme un outil pour les systèmes de transmission de données optiques modernes. L'étude des solitons, qui peut survenir dans les équations de Zakharov-Kuznetsov, est l'une des options pour le développement du travail effectué par les mathématiciens de l'Université RUDN.