Y a-t-il un billet de loterie qui gagne toujours ? Ainsi va la version populaire d'une énigme théorique posée en 1969 par le mathématicien anglais Adrian R.D. Mathias dans le domaine de la théorie des ensembles, un domaine traitant de l'infini en mathématiques.

Le problème est resté un mystère tout au long des années 70, années 80 et 90, comme les théoriciens des ensembles du monde entier ont fait de leur mieux pour le résoudre. Le professeur agrégé Asger Dag Törnquist du département de mathématiques de l'Université de Copenhague a été initié au problème en 2002 alors qu'il terminait sa thèse de doctorat à l'Université de Californie, Los Angeles (UCLA).

"La recherche dans le domaine était restée en sommeil à partir des années 1990 parce que personne ne faisait de progrès vers une solution. J'étais fasciné parce que c'était un vieux problème qui traitait de notre compréhension de l'infini en mathématiques. Même alors, c'est devenu un de mes rêves de résoudre le mystère, même si je n'avais aucune idée de la façon d'accomplir ce qui avait été insaisissable pour les autres pendant des décennies, " il dit.

Familles MAD

Mathias a recherché l'ordre et la structure, choses qui se produisent spontanément dans des systèmes mathématiques suffisamment grands. Aujourd'hui, c'est ce qu'on appelle la théorie de Ramsey, du nom du mathématicien et philosophe britannique Frank Ramsey. Les recherches de Mathias ont montré qu'il existait une profonde corrélation entre la théorie de Ramsey et ce qu'il appelait les familles MAD, mais il n'a pas pu prouver l'existence d'une telle relation.

"Une famille MAD peut être considérée comme une sorte de billet de loterie qui gagne toujours d'une manière particulière, jeu de loterie infini. Dans ce jeu, les billets de loterie ont un nombre infini de rangées de nombres entiers, et chaque ligne elle-même a une infinité de nombres. Et, un ticket peut avoir tellement de lignes qu'elles ne peuvent tout simplement pas être numérotées, " dit Törnquist.

Ce que Mathias a demandé au monde des maths était, 'Est-ce que l'ordre et la structure que nous connaissons sont là, selon les résultats de la théorie de Ramsey, empêcher l'existence d'une famille MAD, c'est à dire., un ticket qui gagne toujours ?'

Le "bébé-mystère" s'est avéré décisif

Törnquist a porté son rêve de résoudre la question de Mathias pendant plusieurs années à l'étranger jusqu'à ce qu'il commence à travailler au Département des sciences mathématiques de l'Université de Copenhague en 2011. Cela a marqué le début d'une période au cours de laquelle Törnquist et David Schrittesser, son chercheur postdoctoral autrichien, s'approcherait progressivement de la solution.

"En 2014, J'ai décidé de repenser le problème à partir de zéro et j'ai trouvé une toute nouvelle façon de le résoudre. Parallèlement au mystère originel, Mathias avait formulé une sorte de baby-version du mystère. Ni l'un ni l'autre n'avait été résolu. J'ai réussi à résoudre la version bébé du mystère, sur lequel j'ai ensuite écrit un article, " explique Törnquist.

Par conséquent, un grand nombre de mathématiciens du monde entier ont réagi. L'article a soudainement relancé la recherche dans le domaine. Des chercheurs d'autres parties du monde ont commencé à s'appuyer sur l'article des chercheurs de l'UCPH et de plus en plus de pièces du puzzle ont commencé à se mettre en place.

"Nous étions en train d'écrire un article destiné à aborder encore une autre petite pièce du puzzle, quand nous avons réalisé que nous étions peut-être plus près de résoudre toute l'énigme que nous ne l'avions cru. À partir de maintenant, les choses sont allées vite. Quelques semaines plus tard, nous avions la solution, " raconte le mathématicien.

Solution :un billet de loterie toujours gagnant n'existe pas

Après cinq ans de travail, Törnquist et Schrittesser ont fait accepter leur article de recherche sur le « ticket de loterie » d'Adrian Mathias dans la prestigieuse revue scientifique américaine, Actes de l'Académie nationale des sciences ( PNAS ). Les deux chercheurs ont découvert que la coïncidence complète n'existe pas.

"Nous avons découvert que les numéros de billets de loterie s'accumulent de telle manière qu'il n'y a aucune certitude d'un gagnant, c'est ce que Mathias avait deviné qui arriverait, mais n'avait pu prouver. Ceci confirme qu'on ne peut pas assembler un tel type de billet de loterie sans l'apparition de certains modèles et régularités dans les numéros de billets. En tant que tel, il n'y a pas de ticket de loterie qui gagne toujours au loto de Mathias, " conclut Asger Dag Törnquist.