Depuis ses origines il y a plus de 300 ans dans les travaux de Newton sur les orbites planétaires, le problème des trois corps est devenu un sujet riche qui continue de donner de nouvelles perspectives aux mathématiciens.

Richard Montgomery, un éminent professeur de mathématiques à l'UC Santa Cruz, l'appelle l'un des dilemmes classiques de l'histoire mathématique. Dans un article du numéro d'août de Scientifique américain , il raconte l'histoire du problème des trois corps et les progrès que lui et d'autres mathématiciens ont réalisés au cours des deux dernières décennies.

"Cela a défié les gens pendant des siècles, et c'est en partie ce qui le rend intéressant. Vous ajoutez au travail de gens comme Newton et Poincaré et Lagrange, " a déclaré Montgomery.

Le problème fondamental est de prédire les mouvements de trois corps (comme des étoiles ou des planètes) attirés mutuellement par la gravité, compte tenu de leurs positions et vitesses initiales. Il s'avère qu'une solution générale au problème est essentiellement impossible en raison de la dynamique chaotique, découverte par Henri Poincaré en 1890.

« Il existe des solutions pour les cas particuliers, mais il n'y a pas de formule simple pour vous donner une solution générale, " expliqua Montgomery.

Du point de vue pratique de la prévision des orbites planétaires et de la planification des missions spatiales, les approximations peuvent être calculées avec un haut degré de précision à l'aide d'ordinateurs et d'un processus appelé intégration numérique. C'est peut-être assez bon pour la NASA, mais pas pour les mathématiciens, dont les explorations continues du problème ont conduit à des avancées importantes en mathématiques.

Chute de chats

Le problème à trois corps relie trois branches différentes des mathématiques :la topologie, géométrie, et dynamique. Montgomery a déclaré que c'était ce qui l'avait intéressé il y a plus de 20 ans. Il avait travaillé sur des questions liées aux mathématiques et à la physique de la façon dont un chat atterrit sur ses pattes, qui a des applications dans la théorie du contrôle et l'orientation des satellites.

"J'ai continué à simplifier le problème jusqu'à ce que le chat ne soit composé que de trois masses ponctuelles, " dit Montgomery. Puis un collègue l'a référé à un autre mathématicien qui avait travaillé sur des idées similaires, et peu de temps après, il était passé de la chute des chats à la mécanique céleste. Apprenant que les meilleures personnes travaillant sur la mécanique céleste étaient à Paris, Montgomery y a passé une année sabbatique à travailler avec Alain Chenciner à l'Université Paris Diderot sur le problème des trois corps.

L'un de leurs premiers résultats majeurs, publié en 2000, était une redécouverte et la preuve d'une solution en forme de huit, dans laquelle trois corps de masse égale se poursuivent sans cesse autour d'une boucle en huit. Bien que Chris Moore du Santa Fe Institute ait trouvé cette solution pour la première fois en 1993, en utilisant une méthode d'approximation numérique, sa redécouverte par Montgomery et Chenciner a eu un impact bien plus important sur le terrain.

"Nous avons pu donner une preuve d'existence rigoureuse de la solution en huit, et la façon dont nous l'avons fait a permis aux autres de généraliser la solution et de trouver plein d'autres choses intéressantes, " expliqua Montgomery.

Un énoncé plus général du problème à trois corps pour tout nombre de corps supérieur à deux est appelé le problème à N corps. Montgomery a déclaré lorsqu'il a présenté pour la première fois la solution à trois corps en huit lors d'une conférence, un membre de l'assistance a rapidement indiqué comment cela devrait fonctionner pour quatre organismes. Bientôt, les mathématiciens découvraient un large éventail de nouvelles orbites pour le problème de masses égales à N corps. Ces solutions périodiques dans lesquelles toutes les masses se poursuivent autour d'un courbe fermée sans collisions ont été nommés "chorégraphies" par le mathématicien espagnol Carles Simó, qui en a découvert des centaines.

"Cela a créé une mini-industrie, si bien que l'on connaît aujourd'hui un grand nombre de ces chorégraphies, " a déclaré Montgomery.

Nouvelle direction

Des années plus tard, Simó a aidé à envoyer les recherches de Montgomery sur le problème à trois corps dans une nouvelle direction en lui suggérant de rechercher des mécanismes dynamiques sous-jacents aux solutions périodiques. Cela a conduit à une collaboration productive ces dernières années avec Rick Moeckel de l'Université du Minnesota.

Les nouvelles idées mathématiques qui ont émergé des travaux de Montgomery sur le problème des trois corps n'ont pas d'applications pratiques, au moins pas encore. Il arrive souvent que des concepts mathématiques abstraits soient développés bien avant que quiconque ne leur trouve une utilisation pratique.

Beaucoup de gens ont été captivés par l'attrait esthétique de la solution du huit et d'autres chorégraphies. Le concept a même fait son chemin dans la science-fiction grâce à l'auteur chinois Liu Cixin, dont le roman Le problème des trois corps a remporté le prix Hugo en 2015.

Mais Montgomery dit qu'il n'aurait jamais abordé le problème s'il n'avait pas été titulaire.

"C'est un problème si difficile, et tu ne sais pas si tu vas progresser, " at-il dit. "Mais la persévérance paie parfois. J'apprécie donc le système de tenure, et aussi pouvoir prendre des congés sabbatiques pour travailler avec des collaborateurs. Il y a quelque chose dans le fait de rencontrer physiquement des gens qui est si important pour travailler ensemble."

Dans son Scientifique américain article, Montgomery fournit non seulement une description détaillée du problème à trois corps, mais aussi une histoire fascinante des collaborations internationales et des relations personnelles qui lui ont permis de progresser sur cette énigme mathématique fascinante.