De nombreuses façons d'aborder l'hypothèse de Riemann ont été proposées au cours des 150 dernières années, mais aucun d'entre eux n'a permis de résoudre le problème ouvert le plus célèbre des mathématiques. Un nouveau papier dans le Actes de l'Académie nationale des sciences ( PNAS ) suggère que l'une de ces anciennes approches est plus pratique qu'on ne le pensait auparavant.

"Dans une preuve étonnamment courte, nous avons montré qu'un vieux, l'approche abandonnée de l'hypothèse de Riemann n'aurait pas dû être oubliée, " dit Ken Ono, un théoricien des nombres à l'Université Emory et co-auteur de l'article. "En formulant simplement un cadre approprié pour une ancienne approche, nous avons prouvé de nouveaux théorèmes, y compris une grande partie d'un critère qui implique l'hypothèse de Riemann. Et notre cadre général ouvre également des approches à d'autres questions fondamentales sans réponse."

L'article s'appuie sur les travaux de Johan Jensen et George Pólya, deux des mathématiciens les plus importants du 20e siècle. Il révèle une méthode pour calculer les polynômes de Jensen-Pólya - une formulation de l'hypothèse de Riemann - pas un à la fois, mais tout à la fois.

"La beauté de notre preuve est sa simplicité, " dit Ono. " Nous n'inventons aucune nouvelle technique ni n'utilisons de nouveaux objets en mathématiques, mais nous proposons une nouvelle vision de l'hypothèse de Riemann. Tout mathématicien raisonnablement avancé peut vérifier notre preuve. Il ne faut pas un expert en théorie des nombres. »

Bien que l'article ne prouve pas l'hypothèse de Riemann, ses conséquences incluent des assertions précédemment ouvertes qui découlent de l'hypothèse de Riemann, ainsi que quelques preuves de conjectures dans d'autres domaines.

Les co-auteurs de l'article sont Michael Griffin et Larry Rolen, deux des anciens étudiants diplômés Emory d'Ono qui font maintenant partie du corps professoral de l'Université Brigham Young et de l'Université Vanderbilt, respectivement—et Don Zagier du Max Planck Institute of Mathematics.

"Le résultat établi ici peut être considéré comme une preuve supplémentaire de l'hypothèse de Riemann, et en tout cas, c'est un beau théorème autonome, " dit Kannan Soundararajan, un mathématicien à l'Université de Stanford et un expert de l'hypothèse de Riemann.

L'idée de l'article a été déclenchée il y a deux ans par un "problème de jouet" qu'Ono a présenté comme un "cadeau" pour divertir Zagier lors de la préparation d'une conférence de mathématiques célébrant son 65e anniversaire. Un problème de jouet est une version réduite d'un plus grand, problème plus compliqué que les mathématiciens tentent de résoudre.

Zagier a décrit celui qu'Ono lui a donné comme "un problème mignon sur le comportement asymptotique de certains polynômes impliquant la fonction de partition d'Euler, qui est un vieil amour du mien et de celui de Ken, et d'à peu près n'importe quel théoricien classique des nombres."

"J'ai trouvé le problème insoluble et je ne m'attendais pas vraiment à ce que Don y parvienne, " se souvient Ono. " Mais il pensait que le défi était super amusant et il a rapidement trouvé une solution. "

L'intuition d'Ono était qu'une telle solution pourrait être transformée en une théorie plus générale. C'est ce que les mathématiciens ont finalement réalisé.

"C'est un projet amusant à travailler, un processus vraiment créatif, " dit Griffin. " Les mathématiques au niveau de la recherche sont souvent plus de l'art que du calcul et c'était certainement le cas ici. Cela nous a obligé à examiner une idée vieille de presque 100 ans de Jensen et Pólya d'une nouvelle manière."

L'hypothèse de Riemann est l'un des sept problèmes du prix du millénaire, identifiés par le Clay Mathematics Institute comme les problèmes ouverts les plus importants en mathématiques. Chaque problème comporte une prime d'un million de dollars pour ses solutionneurs.

L'hypothèse a fait ses débuts dans un article de 1859 du mathématicien allemand Bernhard Riemann. Il a remarqué que la distribution des nombres premiers est étroitement liée aux zéros d'une fonction analytique, qui a été appelée la fonction zêta de Riemann. En termes mathématiques, l'hypothèse de Riemann est l'affirmation que tous les zéros non triviaux de la fonction Zeta ont une partie réelle ½.

« Son hypothèse est une bouchée, mais la motivation de Riemann était simple, " dit Ono. " Il voulait compter les nombres premiers. "

L'hypothèse est un véhicule pour comprendre l'un des plus grands mystères de la théorie des nombres :le modèle sous-jacent aux nombres premiers. Bien que les nombres premiers soient des objets simples définis en mathématiques élémentaires (tout nombre supérieur à 1 sans diviseur positif autre que 1 et lui-même), leur distribution reste cachée.

Le premier nombre premier, 2, est le seul pair. Le prochain nombre premier est 3, mais les nombres premiers ne suivent pas un modèle de chaque troisième nombre. Le suivant est 5, puis 7, puis 11. Au fur et à mesure que vous comptez vers le haut, les nombres premiers deviennent rapidement moins fréquents.

"Il est bien connu qu'il existe une infinité de nombres premiers, mais ils deviennent rares, même au moment où vous atteignez les 100s, " explique Ono. " En fait, sur les 100 premiers, 000 numéros, seulement 9, 592 sont des nombres premiers, ou environ 9,5 pour cent. Et ils deviennent rapidement plus rares à partir de là. La probabilité de tirer un nombre au hasard et qu'il soit premier est nulle. Cela n'arrive presque jamais."

En 1927, Jensen et Pólya ont formulé un critère pour confirmer l'hypothèse de Riemann, comme une étape vers la libération de son potentiel pour élucider les nombres premiers et d'autres mystères mathématiques. Le problème avec le critère - établissant l'hyperbolicité des polynômes de Jensen-Pólya - est qu'il est infini. Au cours des 90 dernières années, seule une poignée des polynômes de la séquence ont été vérifiés, obligeant les mathématiciens à abandonner cette approche comme trop lente et lourde.

Pour le PNAS papier, les auteurs ont conçu un cadre conceptuel qui combine les polynômes par degrés. Cette méthode leur a permis de confirmer le critère pour chaque degré 100 % du temps, éclipsant la poignée de cas qui étaient auparavant connus.

"La méthode a le sentiment choquant d'être universelle, en ce qu'elle s'applique à des problèmes apparemment sans rapport, " dit Rolen. " Et en même temps, ses preuves sont faciles à suivre et à comprendre. Certaines des plus belles idées en mathématiques sont celles qui ont pris beaucoup de temps à réaliser, mais une fois que vous les voyez, ils paraissent simples et clairs."

Malgré leur travail, les résultats n'excluent pas la possibilité que l'hypothèse de Riemann soit fausse et les auteurs pensent qu'une preuve complète de la célèbre conjecture est encore loin.