Un groupe international de chercheurs (le premier auteur est Nikita Kalinin, École supérieure d'économie—Saint-Pétersbourg, le dernier auteur est Ernesto Lupercio, CINVESTAV, Mexico) a présenté le premier modèle continu décrivant la criticité auto-organisée. La solution proposée est plus simple et plus universelle que le modèle classique du tas de sable. Elle intègre des domaines aussi éloignés les uns des autres que l'économie, biologie du développement, et la gravité dans le contexte de la géométrie tropicale. Le document a été publié en Actes de l'Académie nationale des sciences .

Un système est dit dans un état critique si une force extérieure, aussi petit, peut produire un effet d'avalanche provoquant un changement dans le comportement du système. Celles-ci incluent les transitions de phase :une fois qu'un seul cristal de glace émerge dans de l'eau refroidie à zéro degré Celsius, un amas de glace commencera immédiatement à se former.

Il existe certains systèmes dynamiques qui tendent vers un état critique – les tremblements de terre en sont un exemple illustratif. Alors qu'une certaine température et pression sont nécessaires pour que l'eau gèle, aucun paramètre précis n'a besoin d'être respecté pour qu'un tremblement de terre se produise. La principale cause des tremblements de terre est le mouvement continu des plaques tectoniques, et prédire le moment exact où le système atteindra un état critique et produira une avalanche est pratiquement impossible.

De nombreux chercheurs ont tenté de résoudre le mystère des tremblements de terre. Au milieu du 20e siècle, Les sismologues américains Gutenberg et Richter ont montré une relation entre la magnitude et le nombre total de tremblements de terre dans une région donnée. Cette relation est décrite par la loi de puissance exprimée en droite sur une double échelle logarithmique.

Des phénomènes partageant cette caractéristique ont depuis été découverts en géophysique, cosmologie, économie, théorie de la gestion des risques et d'autres domaines. Tous peuvent être décrits par la théorie de la criticité auto-organisée (SOC).

Le concept de SOC a été introduit par Per Bak, Chao Tang et Kurt Wiesenfeld en 1987. Dans leur article fondateur, ils mettent en avant l'exemple archétypal d'un système SOC :le Sandpile Model. Imaginez une grille carrée avec des grains de sable à chacun de ses sommets, dans laquelle de nouveaux grains tombent sur la grille à une certaine fréquence. On suppose que s'il n'y a pas plus de trois grains de sable dans chaque sommet, le système restera stable. Mais dès qu'un quatrième grain de sable tombe au sommet d'un sommet, ça bascule, et le sable glisse le long de ce pic et se redistribue aux sommets voisins. Le basculement se poursuivra en avalanche jusqu'à ce que le système revienne à l'équilibre. La découverte clé des physiciens était que le nombre de sommets qui basculent (c'est-à-dire la taille de la région effondrée) satisfait une distribution de loi de puissance.

Le modèle du tas de sable a longtemps été le modèle classique décrivant le COS. Cependant, il ne décrit la dynamique des systèmes critiques qu'au niveau phénoménologique et ne peut être utilisé pour simuler un séisme ou prédire le comportement d'un véritable tas de sable.

"Le vieux modèle de tas de sable, étant purement combinatoire, se démarque quelque peu du grand monde des mathématiques. Notre modèle est un pas en avant, car il a tous les avantages du modèle tas de sable, mais il est aussi géométrique et continu, le rendant beaucoup plus facile à utiliser, " explique l'auteur Nikita Kalinin, chercheur principal au Laboratoire international HSE de théorie des jeux et de prise de décision. "Nous avons montré que des corrélations de loi de puissance peuvent être obtenues dans un système continu qui n'est pas un automate cellulaire à l'aide de la géométrie tropicale, qui a de nombreuses applications aujourd'hui."

"La géométrie tropicale est une branche de la géométrie du XXIe siècle inspirée de la géométrie algébrique classique qui a prospéré en raison de ses liens avec de nombreux domaines scientifiques, principalement la théorie des cordes, " explique le Dr Ernesto Lupercio du CINVESTAV.

Au lieu de la grille utilisée dans le modèle de tas de sable classique, le nouveau modèle de tas de sable tropical considère une courbe tropicale - un graphique plan avec des bords rectilignes - enfermée dans un carré. La courbe divise le carré en régions polygonales, chacun contenant un ensemble de points choisis au hasard. Lorsqu'un nouveau point est ajouté, la courbe tropicale essaie de la traverser, et la région polygonale contenant le point est rapprochée par un transfert parallèle de ses bords. Dès que l'un des bords atteint la pointe, le processus s'arrête. Un nouveau point est alors ajouté, et tout recommence. Le point précédent peut être à nouveau hors de la courbe, et le système commencera à se déplacer vers elle.

Ce processus de convergence est une variante finie de l'ajout de grains de sable à un tas de sable. Dans le nouveau modèle, la taille de l'avalanche correspond à la zone balayée par les régions convergentes dans le processus initié par l'ajout d'un point aléatoire. Les scientifiques espèrent que leur modèle aidera à clarifier les relations entre différents phénomènes manifestant des propriétés de SOC.

"Nous pouvons observer des similitudes dans différents phénomènes vus à travers le prisme des mathématiques. La géométrie tropicale a des applications dans la théorie des cordes, économie et biologie du développement. La valeur de notre travail réside dans la recherche de connexions dans des endroits inattendus. Cela signifie que les méthodes appliquées à un domaine peuvent être appliquées à un autre. Vous n'avez qu'à passer à l'étape suivante, " dit Kalinine.