Après 10 ans, Le professeur Raimar Wulkenhaar de l'Institut mathématique de l'Université de Münster et son collègue Dr Erik Panzer de l'Université d'Oxford ont résolu une équation mathématique qui était considérée comme insoluble. L'équation doit être utilisée pour trouver des réponses aux questions posées par la physique des particules élémentaires. Dans cet entretien avec Christina Heimken, Wulkenhaar revient sur les défis rencontrés dans la recherche de la formule d'une solution et il explique pourquoi le travail n'est pas encore terminé.

Vous avez travaillé sur la solution de l'équation pendant 10 ans. Qu'est-ce qui a rendu cette équation si difficile à résoudre ?

C'est une équation intégrale non linéaire à deux variables. Une telle équation est si complexe que vous pensez en fait qu'il ne peut y avoir de formule pour une solution. Deux variables à elles seules sont un défi en elles-mêmes, et il n'y a pas d'approches établies pour trouver une solution pour les équations intégrales non linéaires. Néanmoins, encore et encore au cours de ces 10 années, il y avait des lueurs d'espoir et par conséquent, et malgré toutes les difficultés, Je pensais que trouver une formule explicite pour une solution – exprimée par des fonctions connues – était en fait possible.

A quoi peut servir l'équation ?

Il s'agit d'une compréhension mathématique des théories quantiques des champs. Celles-ci appartiennent au domaine de la physique et participent à des expériences à grande échelle telles que celles menées au CERN. Le but est de décrire mathématiquement des particules élémentaires, c'est-à-dire les plus petits composants connus de la matière. Mais c'est tellement compliqué que, au lieu, les particules imaginaires sont décrites mathématiquement qui ont certaines propriétés des particules réelles. L'espoir est qu'un jour les vraies particules puissent être décrites en utilisant les méthodes établies de cette manière.

Après avoir travaillé sur le problème pendant 10 ans, vous avez connu une percée cette année. Comment est-ce arrivé?

Vers la fin mai, J'ai essayé une idée pour laquelle mon doctorat. étudiant, Alexandre Hock, donné l'impulsion décisive. J'ai élaboré une nouvelle équation – plus simple que la précédente – et j'ai commencé à la résoudre en boucle. Cela signifie que vous abordez la solution étape par étape, c'est-à-dire boucle par boucle, en calculant le côté gauche de l'équation à chaque étape précédente et en l'utilisant pour le côté droit de l'équation à l'étape suivante.

Dans la quatrième boucle j'ai dû calculer une somme de 46 intégrales qui contenaient entre autres des polylogarithmes. Ces polylogarithmes, qui sont quelques-unes des fonctions les plus exigeantes, est devenu plus compliqué dans chaque boucle. J'ai eu de la chance là-dedans, en somme, presque tout a été annulé, et ce qui restait n'était qu'une courte somme de puissances de logarithmes normaux. J'ai tout de suite réalisé qu'il y avait un trésor à trouver ici.

La cinquième boucle n'était pas si facile à résoudre – mais encore une fois, j'ai eu de la chance. Lors d'une université d'été dans les Alpes françaises, j'ai eu l'occasion de discuter avec des experts de ces fonctions. L'un de ces experts était le Dr Erik Panzer de l'Université d'Oxford. Il avait écrit un programme informatique sur les mathématiques symboliques des hyperlogarithmes et il a apporté son soutien. Du jour au lendemain, ce programme a calculé mon équation jusqu'à la septième boucle. Cela a confirmé mes résultats jusqu'à la quatrième boucle, et après la quatrième boucle, le miracle s'est poursuivi – tout pouvait être décomposé en logarithmes normaux. Un modèle a commencé à émerger!

Qu'est-ce que ça veut dire?

Peut-être vous souvenez-vous du Triangle de Pascal de vos années d'école, avec les coefficients binomiaux ? Dans le triangle, chaque nombre inscrit dans une ligne du triangle est la somme des deux nombres inscrits au-dessus. Et c'est justement une telle structure triangulaire que nous trouvons dans nos boucles – bien que plus compliquée que dans le triangle de Pascal.

Le 9 juin les boucles huit et neuf ont été complétées. Et puis vint ce qui fut peut-être le moment le plus important. Erik Panzer a déchiffré une formule dite récursive, qui génère chaque dernière ligne du triangle à partir de la ligne au-dessus, et qui permet ainsi d'extrapoler du connu à l'inconnu.

Qu'est-ce qui vous a traversé la tête à ce moment-là ?

L'une des choses que je pensais était, "Personne ne peut avoir cette chance." J'ai réalisé que nous allions résoudre l'équation. Lors de notre repas du soir il y avait une bouteille de vin pour notre table…

… avant de reprendre le travail.

Oui. Le lendemain, j'ai réussi à réduire une partie de l'équation à une simple série de dérivées. Initialement, le reste semblait être difficile. Ce n'est que tard dans la soirée que j'ai eu l'idée d'utiliser la formule de Cauchy pour le résoudre. J'ai réglé mon réveil à 5h30 le lendemain matin et je l'ai essayé tout de suite. Cela a fonctionné du premier coup, et à l'étape suivante, je tombai sur une formule que j'avais souvent vue. Je savais que cela serait résolu en utilisant la fonction Lambert W. Quelques minutes plus tard je reçois un mail d'Erik Panzer :lui aussi avait pensé à la fonction Lambert, mais par un chemin complètement différent. Par conséquent, nous avons réalisé quelque chose qui n'avait pas été réalisable depuis 10 ans :la solution de l'équation intégrale qui décrit le modèle d'une théorie quantique des champs. C'était juste incroyable.

Vous utilisez des idées et des méthodes développées par les mathématiciens du 18ème siècle qui ont été presque complètement oubliées de nos jours.

Ces vieilles formules nous ont beaucoup aidés. La fonction Lambert W, qui est une partie élémentaire de notre solution, porte le nom du mathématicien suisse Johann Heinrich Lambert. Cette équation se retrouve dans un grand nombre de questions entièrement différentes. En raison d'un manque de connaissance du travail de base de Lambert, la fonction Lambert a été inventée encore et encore, et il n'a été établi comme norme qu'en 1993. Nous avons également utilisé la formule de Lagrange-Bürmann, qui nous a aidé à résoudre une intégrale à l'aide de la fonction de Lambert, ainsi que la formule de Cauchy. En général, les mathématiques ont beaucoup de respect pour leurs ancêtres. Des noms comme Euler, Lambert, Lagrange, Cauchy, Gauss et Hilbert sont cités avec la plus grande reconnaissance pour leurs réalisations. Mais il y a deux outils modernes dont je ne voudrais pas me passer :Wikipedia et le calcul formel. Vous pouvez trouver des informations complètes sur Wikipedia couvrant les structures et fonctions mathématiques bien connues et moins connues. Les ordinateurs peuvent résoudre des équations incomparablement plus rapidement qu'à la main, et sans faire d'erreurs

Quelles sont les prochaines étapes?

Une nouvelle fonction apparaît dans notre solution que nous avons nommée la fonction de Nielsen. Lorsque nous l'avons mieux compris et avons établi par exemple comment il se rapporte à d'autres fonctions connues, nous soumettrons notre travail – qui est librement accessible en ligne sous forme de pré-impression – pour publication dans une revue spécialisée avec des évaluations par les pairs.

Après cela, j'aimerais continuer un travail sur lequel j'ai été engagé depuis 2002 avec mon collègue, le professeur Harald Grosse de Vienne. Il traite d'une théorie quantique des champs pour les particules mathématiques. Nous allons maintenant pouvoir bien comprendre ce modèle à l'aide de l'équation que nous avons résolue.