La distribution des nombres premiers de 1 à 76, 800, de gauche à droite et de haut en bas. Un pixel noir signifie que le nombre est le premier, alors qu'un pixel blanc signifie qu'il ne l'est pas. Crédit :Wikipédia, CC PAR
Le 26 décembre, 2017, J. Pace, G. Woltman, S. Kurowski, A. Blosser, et leurs co-auteurs ont annoncé la découverte d'un nouveau nombre premier :2⁷⁷²³²⁹¹⁷-1. C'est une excellente occasion de faire un petit tour dans le monde merveilleux des nombres premiers pour voir comment ce résultat a été obtenu et pourquoi il est si intéressant.
Un nombre premier est un nombre qui n'est divisible que par lui-même et le nombre 1, C'est, essentiellement un nombre qui n'a pas de diviseur. Certains parlent des nombres premiers comme des atomes de l'univers mathématique, d'autres comme pierres précieuses.
C'est à Euclide que l'on doit les deux premières définitions d'un nombre premier :
Ératosthène, qui a vécu de -276 à -194, a proposé un processus qui nous permet de trouver tous les nombres premiers inférieurs à un nombre naturel donné N. Le processus consiste à éliminer d'un tableau les entiers de 2 à N qui sont des multiples de ces nombres. En supprimant tous les multiples, il ne reste que des entiers qui ne sont des multiples d'aucun entier, et les nombres premiers aussi. La recherche d'algorithmes efficaces est un sujet de recherche actif – par exemple pour le test de Lucas-Lehmer).
Timbre, CC PAR
Après l'ère grecque, il y eut une longue période sombre qui dura jusqu'à la fin du XVIe siècle et l'arrivée du théologien et mathématicien français Marin Mersenne (1588-1648). Il était un avocat de l'orthodoxie catholique, mais croyait aussi que la religion doit accueillir toute vérité mise à jour. Il était cartésien et traducteur de Galilée.
Mersenne cherchait une formule qui générerait tous les nombres premiers. En particulier, il a étudié les nombres Mp =2p-1, où p est premier. Ces nombres sont maintenant appelés nombres de Mersenne ou nombres premiers de Mersenne. En 1644, il écrit que Mp est premier pour p =2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127, 257, et composé - en d'autres termes, non premier - pour les 44 autres valeurs p inférieures à 257. Cette définition commet en fait cinq erreurs :M61, M89 et M107 sont premiers, alors que M67 et M257 ne le sont pas.
Le nouveau nombre premier découvert en toute fin d'année 2017 correspond à M77232917. Il en a 23, 249, 425 chiffres – près d'un million de chiffres de plus que le précédent record. Si le numéro était contenu dans un document écrit dans la police Times New Roman avec une taille en points de 10 et des marges de page standard, il en remplirait 3, 845 pages.
La date officielle de découverte d'un nombre premier est le jour où quelqu'un déclare le résultat. Ceci est conforme à la tradition :M4253 est réputé ne pas en avoir car en 1961 le mathématicien américain Alexander Hurwitz a lu une sortie d'imprimante de la fin vers l'avant, et a trouvé M4423 quelques secondes avant de voir M4253. Le précédent numéro Mersenne avait aussi une histoire compliquée :l'ordinateur rapportait le résultat au serveur le 17 septembre, 2015, mais un bug a bloqué l'e-mail. Le nombre premier est resté inaperçu jusqu'au 7 janvier 2016.
Cryptographie quantique
On se réfère souvent à l'utilisation des nombres premiers en cryptographie, mais ils sont trop gros pour être vraiment utiles. (Il y a de l'espoir que la cryptographie quantique changera les choses.) Historiquement, La recherche de nombres premiers de Mersenne a été utilisée comme test pour le matériel informatique. En 2016, la communauté premium95 a découvert une faille dans le processeur Skylake d'Intel ainsi que dans de nombreux PC. Ce nombre premier a été trouvé dans le cadre du Great Internet Mersenne Prime Search Project (GIMPS).
2⁷⁷²³²⁹¹⁷-1 est le 50e Mersenne prime et si le défi de découvrir le 51e vous tente, le programme de vérification est accessible à tous - et il y a même un 3 $, 000 prix.
Cet article a été initialement publié sur The Conversation. Lire l'article original. 
