Les nombres premiers sont plus que des nombres qui ne peuvent être divisés que par eux-mêmes et un. Ils sont un mystère mathématique, les secrets que les mathématiciens tentent de découvrir depuis qu'Euclide ont prouvé qu'ils n'avaient pas de fin.

Un projet en cours – le Great Internet Mersenne Prime Search – qui vise à découvrir de plus en plus de nombres premiers d'un genre particulièrement rare, a récemment abouti à la découverte du plus grand nombre premier connu à ce jour. S'étirant jusqu'à 23, 249, 425 chiffres, il est si grand qu'il remplirait facilement 9, 000 pages de livre. Par comparaison, le nombre d'atomes dans l'ensemble de l'univers observable est estimé à pas plus de 100 chiffres.

Le nombre, simplement écrit 2⁷⁷²³²⁹¹⁷-1 (deux à la puissance 77, 232, 917, moins un) a été trouvé par un bénévole qui avait consacré 14 ans de temps de calcul à l'entreprise.

Vous vous demandez peut-être, si le nombre s'étend sur plus de 23 millions de chiffres, pourquoi devons-nous le savoir? Les chiffres les plus importants sont-ils certainement ceux que nous pouvons utiliser pour quantifier notre monde ? Ce n'est pas le cas. Nous devons connaître les propriétés des différents nombres afin de pouvoir non seulement continuer à développer la technologie sur laquelle nous nous appuyons, mais aussi le garder en sécurité.

Le secret avec les nombres premiers

L'une des applications les plus utilisées des nombres premiers en informatique est le système de cryptage RSA. En 1978, Ron Rivest, Adi Shamir et Leonard Adleman ont combiné des éléments simples, faits connus sur les nombres pour créer RSA. Le système qu'ils ont développé permet la transmission sécurisée d'informations – comme les numéros de carte de crédit – en ligne.

Le premier ingrédient requis pour l'algorithme sont deux grands nombres premiers. Plus les nombres sont gros, plus le cryptage est sûr. Le nombre de comptage un, deux, Trois, quatre, et ainsi de suite – également appelés nombres naturels – sont, évidemment, extrêmement utile ici. Mais les nombres premiers sont les éléments constitutifs de tous les nombres naturels et donc encore plus importants.

Prenez le nombre 70 par exemple. La division montre qu'elle est le produit de deux et de 35. De plus, 35 est le produit de cinq et sept. Donc 70 est le produit de trois nombres plus petits :deux, cinq, et sept. C'est la fin de la route pour 70, car aucun de ceux-ci ne peut être décomposé davantage. Nous avons trouvé les composants primaires qui composent 70, donnant sa factorisation première.

En multipliant deux nombres, même s'il est très grand, est peut-être fastidieux mais une tâche simple. Trouver la factorisation première, d'autre part, est extrêmement dur, et c'est précisément ce dont profite le système RSA.

Supposons qu'Alice et Bob souhaitent communiquer secrètement sur Internet. Ils nécessitent un système de cryptage. S'ils se rencontrent pour la première fois en personne, ils peuvent concevoir une méthode de cryptage et de décryptage qu'eux seuls connaîtront, mais si la communication initiale est en ligne, ils doivent d'abord communiquer ouvertement le système de cryptage lui-même – une entreprise risquée.

Cependant, si Alice choisit deux grands nombres premiers, calcule leur produit, et le communique ouvertement, découvrir quels étaient ses nombres premiers originaux sera une tâche très difficile, car elle seule connaît les facteurs.

Alors Alice communique son produit à Bob, garder ses facteurs secrets. Bob utilise le produit pour crypter son message à Alice, qui ne peut être décrypté qu'en utilisant les facteurs qu'elle connaît. Si Eve écoute, elle ne peut pas déchiffrer le message de Bob à moins d'acquérir les facteurs d'Alice, qui n'ont jamais été communiqués. Si Eve essaie de décomposer le produit en ses facteurs premiers - même en utilisant le superordinateur le plus rapide - aucun algorithme connu n'existe qui puisse accomplir cela avant que le soleil n'explose.

La quête primordiale

Les grands nombres premiers sont également utilisés de manière proéminente dans d'autres cryptosystèmes. Plus les ordinateurs sont rapides, plus les nombres qu'ils peuvent déchiffrer sont grands. Pour les applications modernes, des nombres premiers mesurant des centaines de chiffres suffisent. Ces chiffres sont minuscules par rapport au géant récemment découvert. En réalité, le nouveau premier est si grand qu'à l'heure actuelle, aucun progrès technologique concevable en matière de vitesse de calcul ne pourrait nécessiter de l'utiliser pour la sécurité cryptographique. Il est même probable que les risques posés par les ordinateurs quantiques imminents n'auraient pas besoin de tels nombres monstres pour être sécurisés.

Ce ne sont ni des cryptosystèmes plus sûrs ni des ordinateurs améliorés qui ont conduit à la dernière découverte de Mersenne, toutefois. C'est le besoin des mathématiciens de découvrir les bijoux à l'intérieur du coffre étiquetés « nombres premiers » qui alimentent la quête en cours. C'est un désir primordial qui commence par compter un, deux, Trois, et nous conduit aux frontières de la recherche. Le fait que le commerce en ligne ait été révolutionné est presque un accident.

Le célèbre mathématicien britannique Godfrey Harold Hardy a dit :« Les mathématiques pures sont dans l'ensemble nettement plus utiles qu'appliquées. Car ce qui est utile avant tout, c'est la technique, et la technique mathématique est enseignée principalement par les mathématiques pures". Qu'ils soient ou non d'énormes nombres premiers, comme le 50e nombre premier de Mersenne connu avec ses millions de chiffres, sera jamais trouvé utile est, au moins à Hardy, une question sans intérêt. Le mérite de connaître ces nombres est d'étancher la soif intellectuelle de la race humaine qui a commencé avec la preuve d'Euclide de l'infinité des nombres premiers et se poursuit encore aujourd'hui.

Cet article a été initialement publié sur The Conversation. Lire l'article original.