Carreler le plan avec un seul motif est un problème mathématique qui intéresse les humains depuis l'Antiquité, notamment pour la qualité esthétique des carreaux en mosaïque ou en carrelage. L'un des problèmes non résolus dans ce domaine qui intrigue la communauté scientifique depuis 1918 est désormais définitivement résolu grâce à Michaël Rao du Laboratoire d'informatique du parallélisme (CNRS/Inria/ENS de Lyon/Université Claude Bernard Lyon 1). À l'aide d'outils informatiques, il a pu démontrer qu'il n'y a que 15 motifs à cinq côtés qui peuvent carreler l'avion. La recherche est maintenant disponible sur le Arxiv site Internet.

Il existe plusieurs solutions pour recouvrir un sol d'une seule forme, comme les triangles, carrés, rectangles, hexagones, etc. La recherche exhaustive de toutes les formes convexes qui peuvent carreler le plan - une forme avec des angles inférieurs à 180° qui peut couvrir un mur entier sans se chevaucher - a été initiée par Karl Reinhardt lors de sa thèse en 1918. Il a montré que tous les triangles et les quadrilatères peuvent carreler le plan, mais qu'il n'y avait que 3 types d'hexagones qui pouvaient le faire, et qu'un polygone à sept côtés ou plus ne pouvait pas le faire. Seule la question des pentagones restait ouverte.

15 types de pentagones ont été découverts de 1918 à 2015 dans le cadre de recherches singulières :initiées par Reinhardt en 1918, il a connu de nombreux rebondissements, telles que les nouvelles découvertes de mathématiciens amateurs, jusqu'à l'annonce médiatisée en 2015 d'une nouvelle 15e forme 30 ans après le 14e. Pourtant, la communauté scientifique n'était toujours pas en mesure de déterminer s'il existait d'autres formes de pentagones qui pourraient carreler l'avion.

Michaël Rao, chercheur CNRS au Laboratoire d'informatique du parallélisme (CNRS/Inria/ENS Lyon/Université Claude Bernard Lyon 1), a maintenant définitivement montré qu'il n'y a qu'une série finie de familles de pentagones à prendre en compte. Rao a utilisé un logiciel pour générer toutes les possibilités, et a montré que 371 familles de pentagones pouvaient potentiellement carreler l'avion. Il a ensuite testé chacune de ces familles à l'aide d'un autre programme, et a démontré que seulement 19 types de pentagones remplissaient les conditions d'angles et de longueurs de côté requises pour carreler le plan. Parmi ces 19 types, 15 correspondaient à des types déjà connus, et les quatre autres se sont avérés être des cas particuliers de ces 15 types. Par conséquent, seulement 15 types de tuiles peuvent carreler l'avion.

Rao a réussi à régler un problème vieux d'un siècle avec sa méthodologie, et d'ouvrir de nouvelles perspectives. Toutes ces tuiles convexes peuvent carreler le plan périodiquement (c'est-à-dire, les tuiles se répètent à l'infini). Pourtant, on ne sait pas encore s'il existe une tuile permettant un carrelage non périodique. Heureusement, la plupart de ces techniques peuvent également être utilisées pour des polygones non convexes, et pourrait ainsi servir de base à la résolution d'un autre problème dans le domaine du carrelage, mieux connu sous le nom de « problème d'Einstein » (de l'allemand « ein stein »).