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Une équation quadratique contient une seule variable élevée à la puissance seconde. Dans sa forme standard, il s'exprime sous la forme ax ² + bx + c =0, où a , b et c sont des constantes. Contrairement aux équations linéaires, une équation quadratique a toujours deux solutions, qui peuvent être trouvées à l'aide de l'une des trois méthodes suivantes :la factorisation, la complétion du carré ou la formule quadratique. La formule quadratique fournit une solution universelle applicable à toute équation quadratique.

Formule quadratique

Pour l'équation quadratique générale ax ² + bx + c =0, les solutions sont données par :

\(x =\frac{−b \pm \sqrt{b^2 − 4ac}}{2a}\)

Le « ± » indique deux solutions distinctes :l'une utilisant le signe plus et l'autre utilisant le signe moins.

Application de la formule quadratique

Avant d'appliquer la formule, assurez-vous que l'équation est sous forme standard. Si des termes apparaissent des deux côtés de l'équation, mettez-les de côté et combinez les termes similaires.

Exemple :Résoudre 3x² – 12 =2x(x – 1)

Étape 1 :Convertir en formulaire standard

Développez les parenthèses :
3x² – 12 =2x² – 2x

Déplacez tous les termes vers la gauche :
3x² – 2x² + 2x – 12 =0

Combinez des termes similaires :
x² + 2x – 12 =0

Maintenant, l'équation est sous la forme axe ² + bx + c =0 avec a =1, b =2, c =–12.

Étape 2 : Insérez a, b et c dans la formule

\(x =\frac{−2 \pm \sqrt{2^2 − 4\times1\times(−12)}}{2\times1}\)

Étape 3 : Simplifier

Calculer le discriminant :4 + 48 =52
\(x =\frac{−2 \pm \sqrt{52}}{2}\)
Depuis \(\sqrt{52} \approx 7.21\), on a :
\(x =\frac{−2 + 7,21}{2} \environ 2,61\)
\(x =\frac{−2 − 7,21}{2} \approx −4,61\)

Ainsi les solutions sont x ≈ 2,61 et x ≈ –4,61.

Autres méthodes de résolution de quadratiques

Affacturage

La factorisation fonctionne mieux pour les équations simples où deux nombres entiers se multiplient par c et ajoutez à b . Cela devient difficile lorsque des nombres fractionnaires ou irrationnels sont impliqués.

Compléter le carré

Si l'équation est sous forme standard, isolez les termes quadratiques et linéaires, puis ajoutez (b/2)² aux deux côtés pour transformer le côté gauche en un carré parfait :

\(x^2 + bx + (b/2)^2 =(x + b/2)^2\)

Ensuite, résolvez pour x en prenant les racines carrées des deux côtés.

Bien que les deux méthodes soient utiles, la formule quadratique reste la technique la plus fiable pour toutes les méthodes quadratiques.