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Les polynômes apparaissent partout dans les mathématiques et les sciences. Une fois que vous avez compris les principes fondamentaux, les opérations (addition, soustraction, multiplication et division) deviennent routinières. Même si la division peut être un peu plus compliquée, les techniques de base sont simples et fiables.
Un polynôme est une expression algébrique qui contient un ou plusieurs termes avec des variables, des exposants entiers et des constantes. Contraintes clés :
Exemples :
\(x^3 + 2x^2 – 9x – 4\)
\(xy^2 – 3x + y\)
Les polynômes peuvent être classés par degré (exposant total le plus élevé) ou par nombre de termes :monômes (1 terme), binômes (2 termes), trinômes (3 termes), etc.
Pour combiner des polynômes, regroupez les termes similaires, c'est-à-dire les termes qui partagent les mêmes variables et exposants. Les coefficients peuvent différer.
Exemple :Combiner (x^3 + 3x) + (9x^3 + 2x + y)
Étape 1 – regrouper les termes similaires :
\((x^3 + 9x^3) + (3x + 2x) + y\)
Étape 2 – ajouter des coefficients :
\(10x^3 + 5x + y\)
Pour la soustraction, distribuez le signe moins, puis combinez les termes similaires.
Exemple :(4x^4 + 3y^2 + 6y) – (2x^4 + 2y^2 + y)
Réécrire :
\(4x^4 + 3y^2 + 6a – 2x^4 – 2y^2 – y\)
Combiner :
\((4x^4 – 2x^4) + (3y^2 – 2y^2) + (6y – y) =2x^4 + y^2 + 5y\)
Lorsqu'un signe moins précède une parenthèse, pensez à inverser le signe de chaque terme à l'intérieur.
Exemple :(4xy + x^2) – (6xy – 3x^2)
S'étend à :
\(4xy + x^2 – 6xy + 3x^2\)
Utilisez la propriété distributive :multipliez chaque terme du premier polynôme par chaque terme du second, puis combinez les termes similaires.
Exemple :4x × (2x^2 + y)
\(4x × 2x^2 + 4x × y =8x^3 + 4xy\)
Plus complexe :
\((2y^3 + 3x) \times (5x^2 + 2x)\)
\(=(2y^3 \times 5x^2) + (2y^3 \times 2x) + (3x \times 5x^2) + (3x \times 2x)\)
\(=10y^3x^2 + 4y^3x + 15x^3 + 6x^2\)
La division longue suit le même schéma que la division longue numérique. Écrivez le diviseur à gauche et le dividende à droite.
Exemple :\frac{x^2 – 3x – 10}{x + 2}
Étape 1 – divisez les termes principaux :x^2 ÷ x = x . Écrivez x au-dessus de la ligne.
Étape 2 – multiplier :x(x + 2) = x^2 + 2x . Soustraire du dividende :
x^2 – 3x – 10 moins x^2 + 2x = –5x – 10 .
Étape 3 – faites tomber le prochain terme (ici, –10). Répétez :
Diviser les termes principaux :(–5x) ÷ x = –5 . Multiplier :–5(x + 2) = –5x – 10 .
Soustraire :(–5x – 10) – (–5x – 10) = 0 . Aucun reste.
Résultat :x – 5 .
Dans la mesure du possible, la prise en compte du dividende avant la division peut simplifier le processus.
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