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Lorsque vous vous plongerez pour la première fois dans la trigonométrie, vous découvrirez un ensemble d’outils puissants appelés identités de demi-angle. Ces formules vous permettent de traduire des expressions trigonométriques qui impliquent θ /2 dans des expressions qui utilisent l'angle plus familier θ . En pratique, ils vous aident soit à simplifier une expression, soit à calculer la valeur exacte d'une fonction trigonométrique lorsque l'argument est la moitié d'un angle bien connu.

Identités principales en demi-angle

Vous trouverez ci-dessous les principales identités dont vous aurez besoin. Bien que de nombreux textes les présentent sous une forme unique, chacun peut être algébriquement transformé en plusieurs variantes utiles.

Identité demi-angle pour sinus

\(\sin\bigg(\frac{θ}{2}\bigg) =±\sqrt{\frac{1 – \cosθ}{2}}\)

Identité demi-angle pour le cosinus

\(\cos\bigg(\frac{θ}{2}\bigg) =±\sqrt{\frac{1 + \cosθ}{2}}\)

Identités de demi-angle pour la tangente

\(\tan\bigg(\frac{θ}{2}\bigg) =±\sqrt{\frac{1 -\cosθ}{1 + \cosθ}}\)

\(\tan\bigg(\frac{θ}{2}\bigg) =\frac{\sinθ}{1 + \cosθ}\)

\(\tan\bigg(\frac{θ}{2}\bigg) =\frac{1 – \cosθ}{\sinθ}\)

\(\tan\bigg(\frac{θ}{2}\bigg) =\cscθ – \cotθ\)

Identités demi-angle pour cotangente

\(\cot\bigg(\frac{θ}{2}\bigg) =±\sqrt{\frac{1 + \cosθ}{1 – \cosθ}}\)

\(\cot\bigg(\frac{θ}{2}\bigg) =\frac{\sinθ}{1 – \cosθ}\)

\(\cot\bigg(\frac{θ}{2}\bigg) =\frac{1 + \cosθ}{\sinθ}\)

\(\cot\bigg(\frac{θ}{2}\bigg) =\cscθ + \cotθ\)

Exemple pratique :Calculer sin15°

Voyons comment appliquer ces identités pour trouver la valeur exacte de sin15° , un angle qui ne fait pas partie de la famille standard des 30°, 45° ou 60°.

1. Exprimer l'angle comme la moitié d'une valeur connue

Définir θ /2 =15°, donnant θ =30°. Puisque 30° est un angle familier, nous pouvons utiliser l'identité du demi-angle sinusoïdal.

2. Sélectionnez la formule appropriée

Parce que nous avons besoin du péché , on utilise :\(\sin\bigg(\frac{θ}{2}\bigg) =±\sqrt{\frac{1 – \cosθ}{2}}\)

3. Résoudre le signe ±

Le signe dépend du quadrant. Ici θ =30° se situe dans le quadrant I, où le sinus est positif, nous abandonnons donc l'option négative.

4. Remplacer les valeurs connues

Remplacer cos30° avec sa valeur exacte \(\sqrt{3}/2\) :\(\sin(15°) =\sqrt{\frac{1 – \sqrt{3}/2}{2}}\)

5. Simplifier

Multipliez le numérateur et le dénominateur à l'intérieur de la racine par 2 pour effacer la fraction :\(\sin(15°) =\sqrt{\frac{2(1 – \sqrt{3}/2)}{4}}\)

Ce qui se simplifie en :\(\sin(15°) =\sqrt{\frac{2 – \sqrt{3}}{4}}\)

Enfin, factorisez la racine carrée de 4 :\(\sin(15°) =\frac{1}{2}\sqrt{2 – \sqrt{3}}\)

Ainsi, la valeur exacte de sin15° est \(\frac{1}{2}\sqrt{2 – \sqrt{3}}\) .

Référence rapide du quadrant pour la détermination du signe

• QuadrantI :toutes les fonctions sont positives.
• QuadrantII :le sinus et la cosécante sont positifs.
• Quadrant III :la tangente et la cotangente sont positives.
• QuadrantIV :le cosinus et la sécante sont positifs.

En suivant ces étapes, vous pouvez appliquer en toute confiance les identités des demi-angles à n'importe quel problème trigonométrique, qu'il s'agisse de simplifier une expression ou de trouver une valeur exacte.