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Lorsque vous vous plongerez pour la première fois dans la trigonométrie, vous découvrirez un ensemble d’outils puissants appelés identités de demi-angle. Ces formules vous permettent de traduire des expressions trigonométriques qui impliquent θ /2 dans des expressions qui utilisent l'angle plus familier θ . En pratique, ils vous aident soit à simplifier une expression, soit à calculer la valeur exacte d'une fonction trigonométrique lorsque l'argument est la moitié d'un angle bien connu.
Vous trouverez ci-dessous les principales identités dont vous aurez besoin. Bien que de nombreux textes les présentent sous une forme unique, chacun peut être algébriquement transformé en plusieurs variantes utiles.
Identité demi-angle pour sinus
\(\sin\bigg(\frac{θ}{2}\bigg) =±\sqrt{\frac{1 – \cosθ}{2}}\)
Identité demi-angle pour le cosinus
\(\cos\bigg(\frac{θ}{2}\bigg) =±\sqrt{\frac{1 + \cosθ}{2}}\)
Identités de demi-angle pour la tangente
\(\tan\bigg(\frac{θ}{2}\bigg) =±\sqrt{\frac{1 -\cosθ}{1 + \cosθ}}\)
\(\tan\bigg(\frac{θ}{2}\bigg) =\frac{\sinθ}{1 + \cosθ}\)
\(\tan\bigg(\frac{θ}{2}\bigg) =\frac{1 – \cosθ}{\sinθ}\)
\(\tan\bigg(\frac{θ}{2}\bigg) =\cscθ – \cotθ\)
Identités demi-angle pour cotangente
\(\cot\bigg(\frac{θ}{2}\bigg) =±\sqrt{\frac{1 + \cosθ}{1 – \cosθ}}\)
\(\cot\bigg(\frac{θ}{2}\bigg) =\frac{\sinθ}{1 – \cosθ}\)
\(\cot\bigg(\frac{θ}{2}\bigg) =\frac{1 + \cosθ}{\sinθ}\)
\(\cot\bigg(\frac{θ}{2}\bigg) =\cscθ + \cotθ\)
Voyons comment appliquer ces identités pour trouver la valeur exacte de sin15° , un angle qui ne fait pas partie de la famille standard des 30°, 45° ou 60°.
Définir θ /2 =15°, donnant θ =30°. Puisque 30° est un angle familier, nous pouvons utiliser l'identité du demi-angle sinusoïdal.
Parce que nous avons besoin du péché , on utilise :\(\sin\bigg(\frac{θ}{2}\bigg) =±\sqrt{\frac{1 – \cosθ}{2}}\)
Le signe dépend du quadrant. Ici θ =30° se situe dans le quadrant I, où le sinus est positif, nous abandonnons donc l'option négative.
Remplacer cos30° avec sa valeur exacte \(\sqrt{3}/2\) :\(\sin(15°) =\sqrt{\frac{1 – \sqrt{3}/2}{2}}\)
Multipliez le numérateur et le dénominateur à l'intérieur de la racine par 2 pour effacer la fraction :\(\sin(15°) =\sqrt{\frac{2(1 – \sqrt{3}/2)}{4}}\)
Ce qui se simplifie en :\(\sin(15°) =\sqrt{\frac{2 – \sqrt{3}}{4}}\)
Enfin, factorisez la racine carrée de 4 :\(\sin(15°) =\frac{1}{2}\sqrt{2 – \sqrt{3}}\)
Ainsi, la valeur exacte de sin15° est \(\frac{1}{2}\sqrt{2 – \sqrt{3}}\) .
En suivant ces étapes, vous pouvez appliquer en toute confiance les identités des demi-angles à n'importe quel problème trigonométrique, qu'il s'agisse de simplifier une expression ou de trouver une valeur exacte.