La tangente est l'une des fonctions trigonométriques fondamentales, aux côtés du sinus et du cosinus. Il relie les angles d’un triangle aux rapports de ses côtés et est indispensable dans des domaines allant de l’ingénierie à la physique. Dans ce guide, nous allons parcourir la définition classique du triangle rectangle, illustrer son utilisation avec un exemple simple, puis montrer comment la même valeur peut être dérivée d'autres fonctions trigonométriques et calculée à l'aide d'un développement en séries entières.
Étiquetez le triangle rectangle pour que les relations soient claires. Placez l'angle droit au sommet C, en faisant l'hypoténuse opposée à cet angle. Soit l'angle aigu d'intérêt θ au sommet A. Le côté adjacent à θ est étiqueté b et le côté opposé à θ est étiqueté a. Les deux pattes (aandb) et l'hypoténuse forment le triangle complet.
Par définition, la tangente d'un angle est le rapport de la longueur du côté opposé à l'angle sur la longueur du côté adjacent à l'angle :
\[\tan\theta =\frac{a}{b}\]
Considérons un triangle rectangle isocèle, dont les membres sont égaux :a=b. Ici, \(\tan\theta =1\). Puisque les deux angles aigus sont de 45°, nous confirmons que \(\tan45^{\circ}=1\).
Parce que \(\sin\theta =\frac{a}{h}\) et \(\cos\theta =\frac{b}{h}\), diviser les deux donne :\[\tan\theta =\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\]
Pour une plus grande précision ou des angles non entiers, utilisez la série de Maclaurin :\[\sin x =x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \dots\]\[\cos x =1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \dots\]Alors\[\tan x =\frac{\sin x}{\cos x} =\frac{x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots}{1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \dots}\]
Tronquer la série à la précision souhaitée ; pour la plupart des besoins pratiques, quelques termes suffisent.
