Par Bert Markgraf
22 juillet 2023, 21 h 42 HNE

TL;DR

Un produit est le résultat de la multiplication de deux nombres ou plus. Les principales propriétés de multiplication qui simplifient les calculs sont les propriétés commutatives, distributives, associatives et identitaires. Ces règles s'appliquent à tous les nombres réels, des entiers aux fractions.

Qu'est-ce qu'un produit ?

Le produit des nombres est la valeur que vous obtenez après avoir effectué une multiplication. Par exemple, le produit de 2, 5 et 7 est :

2 × 5 × 7 =70

Bien que différents ensembles de nombres puissent produire le même produit (6 × 4 =24, 2 × 12 =24, 8 × 3 =24), l'opération de multiplication est régie par quatre propriétés distinctes qui la distinguent de l'addition, de la soustraction et de la division.

La propriété commutative de la multiplication

La commutativité signifie que l'ordre des facteurs n'affecte pas le produit. Que vous calculiez 8 × 2 ou 2 × 8, le résultat est toujours 16. Cette propriété s'applique également à l'addition mais pas à la soustraction ou à la division.

Exemples :

3 ÷ 4 =0,75 ≠ 4 ÷ 3 =1,33…
7 – 5 =2 ≠ 5 – 7 =–2

La propriété distributive pour la multiplication

Multiplier une somme par un nombre équivaut à multiplier chaque addition individuellement puis à additionner les résultats :

4 × (3 + 6) =(4 × 3) + (4 × 6) =12 + 24 =36

La division ne partage pas cette propriété :6 ÷ (3 + 9) ≠ 6 ÷ 3 + 6 ÷ 9.

La propriété associative des produits

Lorsque vous multipliez plus de deux nombres, vous pouvez les regrouper arbitrairement sans changer le résultat. Par exemple :

12 × (4 × 2) =12 × 8 =96
ou
(12 × 4) × 2 =48 × 2 =96

En revanche, la division et la soustraction ne sont pas associatives.

La propriété d'identité de la multiplication

La multiplication d'un nombre par l'élément d'identité 1 le laisse inchangé :

une × 1 =une

Exemple :

((24 × 3) + 2 – 6) × 1 =((24 × 3) – 4) =68

Terminologie en arithmétique de base

Comprendre les rôles de chaque numéro permet d'éviter toute confusion :

• Multiplication : multiplicande × multiplicateur =produit.
• Division : dividende ÷ diviseur =quotient.
• Ajout : ajout + ajout =somme.
• Soustraction : minuend – subtrahend =différence.

Types de produits en mathématiques avancées

Au-delà de l'arithmétique élémentaire, les produits apparaissent dans divers contextes mathématiques :

• Produit cartésien d'ensembles (par exemple, paires (x, y)).
• Produit scalaire en calcul vectoriel.
• Multiplication matricielle en algèbre linéaire.
• Produit tensoriel des espaces vectoriels.

Chacun d'eux repose sur l'idée fondamentale de la combinaison de facteurs, ce que nous appelons multiplicandes et multiplicateurs en termes élémentaires.

Pour approfondir chaque type, consultez des textes spécialisés en théorie des ensembles, en algèbre linéaire ou en analyse tensorielle.