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Lorsque vous plongez dans la trigonométrie ou le calcul, vous rencontrerez des fonctions comme le sinus, le cosinus et la tangente. Deviner la valeur d’une équation trigonométrique avec un graphique ou une calculatrice peut être fastidieux, voire impossible. C'est pourquoi les identités trigonométriques – des relations courtes et éprouvées – sont essentielles pour simplifier et résoudre ces équations.
Les identités à double angle vous permettent d’exprimer sin(2θ), cos(2θ) et tan(2θ) en termes de fonctions à un seul angle. Il s'agit d'un sous-ensemble des formules de somme et de différence plus générales.
Deux formes équivalentes existent :
\\(\\sin(2\\theta)=2\\sin(\\theta)\\cos(\\theta)\\)
\\(\\sin(2\\theta)=\\frac{2\\tan(\\theta)}{1+\\tan^2(\\theta)}\\)
Le cosinus peut être écrit de plusieurs manières utiles :
\\(\\cos(2\\theta)=\\cos^2(\\theta)-\\sin^2(\\theta)\\)
\\(\\cos(2\\theta)=2\\cos^2(\\theta)-1\\)
\\(\\cos(2\\theta)=1-2\\sin^2(\\theta)\\)
\\(\\cos(2\\theta)=\\frac{1-\\tan^2(\\theta)}{1+\\tan^2(\\theta)}\\)
Un seul formulaire pratique est utilisé :
\\(\\tan(2\\theta)=\\frac{2\\tan(\\theta)}{1-\\tan^2(\\theta)}\\)
Ces identités sont inestimables lorsque vous devez réécrire une expression trigonométrique afin qu'il ne reste qu'un seul type de fonction. Le symbole de l'angle peut être n'importe quelle lettre – θ, α, x ou β – car l'identité est valable pour tous les angles.
Réécrire cos2x+sin2x en utilisant uniquement sinx et cosx :
\\(\\cos(2x)+\\sin(2x)=\\bigl(2\\cos^2(x)-1\\bigr)+\\bigl(2\\sin(x)\\cos(x)\\bigr)\\)
\\(\\quad=2\\cos(x)\\bigl(\\cos(x)+\\sin(x)\\bigr)-1\\)
1. Simplifiez 2cos²32–1 :
\\(2\\cos^2(32)-1=\\cos(2\\times32)=\\cos(64)\\)
2. Simplifiez 2sinαcosα où α=β⁄2 :
\\(2\\sin(α)\\cos(α)=\\sin(2\\alpha)=\\sin(\\beta)\\)
