Les mots « incertitude » et « critères multiples » caractérisent la pertinence et la complexité des problèmes modernes liés au contrôle d'objets et de processus dynamiques. En réalité, tout modèle mathématique décrivant des processus contrôlés complexes comporte inévitablement des imprécisions dans la description des perturbations et des paramètres de l'objet de contrôle. Ignorer une telle "incertitude" conduit souvent à des erreurs fatales dans le fonctionnement des systèmes de contrôle réels.

D'autre part, les exigences du système de contrôle sont assez souvent contradictoires, ce qui conduit naturellement à la formulation de problèmes multicritères, lequel, si résolu avec succès, éliminer au moins les solutions qui sont manifestement « inefficaces ». Il est bien connu que les problèmes de contrôle multicritères sont très difficiles à résoudre. Ces difficultés prennent une ampleur beaucoup plus grande lorsqu'il y a une incertitude dans le paramétrage d'un système et des perturbations; donc, tout progrès dans le développement de la théorie et des méthodes pour résoudre de tels problèmes est très précieux et pertinent à la fois dans les aspects théoriques et appliqués.

Selon Dmitri Balandin, directeur de recherche du Laboratoire des Systèmes d'Information et Diagnostic Technique, professeur du Département des équations différentielles, Analyse mathématique et numérique à l'Institut des technologies de l'information de l'UNN, Mathématiques et Mécanique, le principal résultat des travaux de son équipe de recherche consiste à développer de nouvelles méthodes de conception de contrôleurs d'objets dynamiques sous forme de retour d'expérience. Ces méthodes ont été développées sur la base des réalisations modernes de la théorie du contrôle, la théorie des inégalités matricielles linéaires et la théorie de l'optimisation convexe.

"L'objet de notre enquête est un système d'équations différentielles ou différentielles ordinaires décrivant la dynamique de l'objet à l'étude. On suppose que l'objet dynamique est soumis à divers types d'effets externes. En particulier, ils peuvent inclure les effets représentés par des fonctions vectorielles intégrables au carré arbitraires du temps, les effets de nature aléatoire qui sont qualifiés de bruit blanc gaussien avec une matrice de covariance inconnue, effets pulsés d'intensité d'impact inconnue, effets harmoniques de fréquence et d'amplitude inconnues, " dit Balandin.

Le but du contrôle est de concevoir un retour (soit à partir de l'état mesuré, soit à partir de la sortie mesurée), qui assure l'extinction des perturbations apparaissant dans le système et générées par ces effets. Les indicateurs de qualité des processus transitoires, également appelés niveaux d'extinction des perturbations, sont déterminés pour chaque classe d'effets externes et sont le maximum (pour tous les effets d'une classe donnée) du rapport de la norme de la sortie contrôlée du système à la norme de l'effet externe. La tendance naturelle à améliorer les processus transitoires conduit à des problèmes de contrôle optimal consistant à minimiser les niveaux d'extinction des perturbations.

Quelques exemples simples montrent que la loi de commande qui minimise le niveau d'extinction pour une classe est loin d'être la meilleure pour une autre classe. Ainsi, par exemple, la commande assurant la meilleure extinction d'une perturbation générée par des effets périodiques diffère sensiblement des lois de commande assurant l'extinction d'une perturbation générée par des effets de choc. Ainsi, se pose le problème de trouver un compromis dans la synthèse des lois de commande de l'objet soumis aux effets de différentes classes. Ce problème est essentiellement un problème de contrôle multicritères.

Dans la théorie de l'optimisation, problèmes multicritères, même dans une formulation de dimension finie, sont traditionnellement très difficiles à résoudre. Ceci est encore plus vrai pour les problèmes de contrôle optimal multicritères, et la définition de problèmes de contrôle multicritères avec la prise en compte de facteurs incertains complique encore le problème. Au cours des dernières décennies, des progrès significatifs ont été réalisés dans la résolution des problèmes de contrôle optimal avec des critères qui ont des interprétations physiques claires sous la forme de niveaux d'extinction pour les perturbations déterministes ou stochastiques de différentes classes. Cependant, le traitement des problèmes multicritères avec ces critères pose encore des difficultés considérables. Ces difficultés sont dues, en premier lieu, à la complexité de caractériser l'ensemble de Pareto et de trouver la fonction multi-objectifs scalaire correspondante qui déterminerait cet ensemble.

Il s'avère également que le problème est encore plus compliqué, puisque chacun des critères est caractérisé par sa fonction de Lyapunov quadratique, et l'optimisation scalaire de la fonction multi-objectif sous la forme d'une convolution linéaire standard conduit dans le cas général à un système d'inégalités bilinéaire difficilement résoluble vis-à-vis des matrices de ces fonctions de Lyapunov et de la matrice de rétroaction du régulateur. Pour construire une solution approximative d'un tel système, comme règle, une condition supplémentaire d'égalité de toutes les fonctions de Lyapunov entre elles est imposée, ce qui introduit une certaine dose de conservatisme dans le problème. Jusqu'à maintenant, la question principale est restée sans réponse :dans quelle mesure les lois de commande résultantes diffèrent-elles des lois de Pareto optimales ?

Dans leurs dernières publications, Les scientifiques de l'Université Lobatchevsky, en co-auteur avec leurs collègues de l'Université d'État d'architecture et de génie civil de Nijni Novgorod, répondu à cette question et fourni des estimations numériques de l'écart des solutions sous-optimales dans les problèmes multicritères par rapport aux solutions optimales de Pareto, et donnent également de nouvelles solutions optimales exactes de Pareto pour certains types de critères.

Une application importante considérée dans les articles récents est le problème du contrôle du mouvement d'un rotor dans des paliers magnétiques actifs (AMB). L'idée de contrôler le champ magnétique pour suspendre les corps ferromagnétiques a longtemps été largement appliquée dans les dispositifs techniques modernes, en particulier dans les systèmes de rotor. Les études théoriques et appliquées dans ce domaine ont une histoire de plusieurs décennies en Russie et à l'étranger.

A Nijni Novgorod, des recherches théoriques et appliquées dans le domaine des systèmes de rotor à paliers magnétiques actifs sont menées depuis de nombreuses années à l'Institut de recherche de mathématiques appliquées et de cybernétique de l'Université Lobatchevsky et à l'Afrikantov OKBM.

Malgré le grand nombre de publications sur les paliers magnétiques actifs, les questions d'amélioration du système de contrôle automatique de l'AMB restent au centre de l'attention des chercheurs et des ingénieurs. Les exigences techniques pour de tels systèmes sont extrêmement exigeantes, le principal d'entre eux étant la vitesse élevée du rotor et le fonctionnement sans surveillance et sans problème du système "rotor dans les paliers magnétiques actifs" pendant assez longtemps.

Pour s'assurer que ces exigences sont remplies, il est nécessaire d'améliorer considérablement la fiabilité du système, ce qui n'est possible qu'en simplifiant grandement les algorithmes de contrôle dans l'AMB. Mathématiquement, ce problème est formulé comme un problème de contrôle optimal multicritères, où les critères reflètent divers, exigences parfois contradictoires au fonctionnement fiable de l'objet de contrôle.

"En raison de l'application de la théorie ci-dessus, il a été possible de synthétiser de nouvelles lois régissant le mouvement du rotor dans des paliers magnétiques actifs pour assurer un fonctionnement fiable du système lorsque les paramètres du rotor et les perturbations agissant sur le rotor ne sont pas connus avec précision, " conclut le professeur Balandin.