En mathématiques, des équations simples peuvent générer une évolution complexe dans le temps et des motifs intrigants dans l'espace. Un exemple célèbre de ceci est l'ensemble de Mandelbrot, du nom du mathématicien franco-américain d'origine polonaise, Benoit B. Mandelbrot (1924-2010), la fractale la plus étudiée. Cet ensemble est basé sur une seule équation quadratique avec un seul paramètre et une variable. Les motifs fractals fascinants de l'ensemble de Mandelbrot ont attiré l'attention bien au-delà des mathématiques.

Un article de Ralph Andrzejak, intitulé "Chimères confinées par des frontières fractales dans le plan complexe, " fait partie d'une édition spéciale de la revue le chaos à la mémoire du professeur russe Vadim S. Anishchenko, (1943-2020), publié le 3 mai 2021. Andrzejak est à la tête du groupe d'analyse des séries temporelles non linéaires au département des technologies de l'information et de la communication (DTIC) de l'UPF. Le travail généralise l'ensemble de Mandelbrot pour quatre équations quadratiques. La figure ci-dessus est un exemple des modèles générés par cette approche.

Un voyage à travers plusieurs ordres de grandeur

Andrzejak note que "la complexité des motifs fractals peut être vue lorsque nous nous rapprochons de détails de plus en plus petits, " que l'auteur illustre dans l'image ci-dessous. Il explique l'image en disant que " globalement, le motif montré dans le panneau supérieur gauche de la figure ressemble à l'ensemble classique de Mandelbrot. Cependant, dès que nous inspectons les détails, nous pouvons voir des modèles qui ne peuvent pas être trouvés dans l'ensemble de Mandelbrot. Pour mieux voir ces détails, nous agrandissons le carré pour produire le panneau suivant."

"Zoom itératif dans les motifs fractals. De gauche à droite et de haut en bas, les panneaux suivants agrandissent les carrés des panneaux précédents correspondants. Le premier chiffre ci-dessus apparaît à nouveau, ici comme la cinquième étape du grossissement.

L'auteur utilise une comparaison pour souligner que ces modèles sont en effet à plusieurs ordres de grandeur. Il précise que "le zoom appliqué aux douze panneaux qui composent l'image correspond à faire exploser un atome à la taille d'un SUV". "Alors que nous zoomons, augmenter la taille de l'image, nous voyons qu'il existe une riche variété de formes et de formes esthétiquement intrigantes. Les motifs que nous avons découverts peuvent sembler moins filigranes et moins ordonnés, mais ils peuvent être plus variés que ceux trouvés dans l'ensemble de Mandelbrot."

Interaction des fractales et synchronisation

Mais il y a plus que des modèles fractals pour approcher la proposition d'Andrzejak. Comme l'auteur utilise quatre équations au lieu d'une, il a également pu étudier la synchronisation au sein de ces motifs fractals. Comment pouvons-nous comprendre cela? Andrzejak explique en disant que « l'ensemble de Mandelbrot est basé sur une équation avec un paramètre et une variable. On peut imaginer cette variable comme une petite boule se déplaçant sur la surface d'une grande table ronde. Ce qui arrive à cette boule dépend du paramètre de la équation Pour certaines valeurs de ce paramètre, la balle bouge et est toujours sur la table. L'ensemble de toutes ces valeurs de paramètres pour lesquelles la balle reste sur la table est ce qui définit l'ensemble de Mandelbrot. Au contraire, pour les valeurs de paramètre restantes, la balle tombe de la table à un moment donné."

Andrzejak poursuit en disant que « on pourrait penser que les quatre équations que nous utilisons décrivent le mouvement non pas d'une, mais quatre balles sur la surface de la table. Puisque les équations sont liées, les balles ne peuvent pas bouger librement. Cependant, ils s'attirent, comme le soleil, La Terre et la Lune s'attirent par gravité. » Le chercheur ajoute qu'« en raison de cette attraction, les quatre boules peuvent montrer diverses formes de synchronisation. Les deux extrêmes sont :les quatre balles se déplacent ensemble le long des mêmes chemins ou chaque balle suit son propre chemin. » Andrzejak souligne alors que « plus important encore, au-delà de ces extrêmes, trouve ce qu'on appelle la synchronisation partielle. Par exemple, deux balles peuvent se déplacer de manière synchronisée, tandis que les deux autres boules restent désynchronisées de ce mouvement. Cet état particulier de synchronisation partielle est appelé état chimère, " d'où le titre de l'article.

Une question de grande importance pour la dynamique du monde réel

Si nous nous demandons si le modèle mathématique en question peut être pertinent pour la dynamique du monde réel, Andrzejak répond "Oui. Absolument. Le meilleur exemple est le cerveau. Si tous nos neurones se synchronisaient ou se désynchronisaient, notre cerveau ne pouvait plus faire son travail. Notre cerveau ne peut fonctionner correctement que si certains neurones se synchronisent tandis que d'autres ne sont pas synchronisés. La synchronisation partielle est essentielle au bon fonctionnement du cerveau. de plus, nous montrons comment cette synchronisation partielle est confinée dans les limites fractales par synchronisation et désynchronisation complètes. » L'auteur conclut :« Si nous étudions les mécanismes de base de la synchronisation partielle dans des modèles très simples, cela peut aider à comprendre comment il est établi et comment il peut être maintenu stable dans des systèmes aussi complexes que le cerveau humain."