Des mathématiciens de l'Université RUDN ont prouvé l'unique théorème de continuation pour une solution unidimensionnelle à un problème de diffusion d'ordre fractionnaire. De telles équations sont utilisées, par exemple, pour résoudre des problèmes de diffusion de particules dans un milieu poreux comme l'infiltration des eaux souterraines. Les résultats des travaux des mathématiciens pourraient conduire à une analyse plus précise des solutions et de leur simulation numérique. Dans le cas général, il n'y a pas de tels théorèmes de continuation pour d'autres classes d'équations similaires. L'article a été publié dans la revue Calcul fractionnaire et analyse appliquée .

L'équation de diffusion est une équation différentielle partielle qui décrit la pénétration des particules dans un milieu. Sa solution est une fonction vous de t et X , qui donne la densité des particules au point X au moment t . L'équation de diffusion à une dimension contient des dérivées de vous en ce qui concerne t , ainsi que les dérivés de vous en ce qui concerne X et une dérivée seconde de vous en ce qui concerne X .

L'équation à une dimension est également appelée équation de conduction thermique :la propagation de la chaleur peut être considérée comme une forme de diffusion. Dans l'équation de diffusion fractionnaire à une dimension, la dérivée de vous en ce qui concerne t est remplacé par le dérivé fractionnaire de Caputo. Si la dérivée est la limite d'un rapport, puis la dérivée fractionnaire de Caputo d'un ordre fractionnaire une est déterminé par la formule intégrale, où pour les valeurs entières une il existe des valeurs standard des dérivés. Pour l'équation de diffusion unidimensionnelle habituelle, un théorème de continuation peut être prouvé[s].[/s] Il stipule que si la densité et le flux de particules sont nuls à un point limite sur un intervalle de temps, alors il n'y a pas diffusion en x et t à l'étude. Même un étudiant de première année peut comprendre la preuve de cette affirmation, cependant, jusque récemment, des résultats similaires pour l'équation de diffusion fractionnaire étaient inconnus.

Le mathématicien de l'Université RUDN Masahiro Yamamoto et ses collègues ont examiné l'équation de diffusion fractionnaire unidimensionnelle pour un paramètre arbitraire a avec une valeur comprise entre 0 et 1. Ils ont réussi à démontrer que dans le cas fractionnaire, il existe également un théorème de continuation, de plus, dans la même formulation :si la densité et le flux de particules sont nuls en un point limite sur un intervalle de temps, alors rien ne se diffuse.

L'idée de la preuve est la suivante :les mathématiciens prennent une solution, regardez comment il se comporte dans une continuation, puis obtenir une estimation intégrale de l'augmentation de cette solution, selon le paramètre. Il résulte de l'estimation intégrale que la seule solution satisfaisante est la solution zéro. Il n'y a pas d'estimations similaires connues pour des équations similaires avec des dérivées fractionnaires.

L'équation de diffusion fractionnaire est appliquée dans divers domaines de la physique, mathématiques, et informatique. Par exemple, cette équation décrit la diffusion de particules dans un milieu poreux. De telles équations ont été utilisées avec succès pour décrire le comportement des émissions polluantes dans les eaux souterraines. Un autre domaine d'application de telles équations est le traitement d'images.