Vous avez probablement rencontré des centaines de fois des objets à sens unique dans votre vie quotidienne - comme le symbole universel du recyclage, trouvé imprimé au dos de canettes en aluminium et de bouteilles en plastique.

Cet objet mathématique s'appelle une bande de Mobius. Il a fasciné les écologistes, artistes, ingénieurs, mathématiciens et bien d'autres depuis sa découverte en 1858 par August Möbius, un mathématicien allemand décédé il y a 150 ans, le 26 septembre, 1868.

Möbius a découvert la bande unilatérale en 1858 alors qu'il était président d'astronomie et de mécanique supérieure à l'Université de Leipzig. (Un autre mathématicien nommé Listing l'a en fait décrit quelques mois plus tôt, mais n'a pas publié son travail jusqu'en 1861.) Möbius semble avoir rencontré la bande de Möbius en travaillant sur la théorie géométrique des polyèdres, figures solides composées de sommets, arêtes et faces planes.

Une bande de Möbius peut être créée en prenant une bande de papier, en lui donnant un nombre impair de demi-tours, puis recollez les extrémités pour former une boucle. Si vous prenez un crayon et tracez une ligne le long du centre de la bande, vous verrez que la ligne passe apparemment des deux côtés de la boucle.

Le concept d'un objet unilatéral a inspiré des artistes comme le graphiste néerlandais M.C. Escher, dont la gravure sur bois "Möbius Strip II" montre des fourmis rouges rampant les unes après les autres le long d'une bande de Möbius.

La bande de Möbius a plus qu'une propriété surprenante. Par exemple, essayez de prendre une paire de ciseaux et de couper la bande en deux le long de la ligne que vous venez de tracer. Vous serez peut-être étonné de constater que vous ne vous retrouvez pas avec deux plus petites bandes de Möbius unilatérales, mais à la place avec une longue boucle à deux côtés. Si vous n'avez pas de papier sous la main, La gravure sur bois d'Escher "Möbius Strip I" montre ce qui se passe lorsqu'une bande de Möbius est coupée le long de sa ligne médiane.

Bien que la bande ait certainement un attrait visuel, son plus grand impact a été en mathématiques, où il a contribué à stimuler le développement de tout un domaine appelé topologie.

Un topologue étudie les propriétés des objets qui sont conservés lorsqu'ils sont déplacés, courbé, étiré ou tordu, sans couper ni coller les pièces entre elles. Par exemple, une paire d'écouteurs emmêlés est dans un sens topologique le même qu'une paire d'écouteurs démêlés, car passer de l'un à l'autre ne demande qu'un déplacement, flexion et torsion. Aucune découpe ou collage n'est nécessaire pour se transformer entre eux.

Une autre paire d'objets topologiquement identiques est une tasse à café et un beignet. Parce que les deux objets n'ont qu'un seul trou, l'un peut être déformé dans l'autre par simple étirement et flexion.

Le nombre de trous dans un objet est une propriété qui ne peut être modifiée que par découpe ou collage. Cette propriété – appelée « genre » d'un objet – permet de dire qu'une paire d'écouteurs et un donut sont topologiquement différents, puisqu'un beignet a un trou, alors qu'une paire d'écouteurs n'a pas de trous.

Malheureusement, une bande de Möbius et une boucle double face, comme un bracelet de sensibilisation en silicone typique, les deux semblent avoir un trou, cette propriété est donc insuffisante pour les distinguer – du moins du point de vue d'un topologue.

Au lieu, la propriété qui distingue une bande de Möbius d'une boucle à deux côtés est appelée orientabilité. Comme son nombre de trous, l'orientabilité d'un objet ne peut être modifiée que par découpe ou collage.

Imaginez-vous en train d'écrire une note sur une surface transparente, puis se promener sur cette surface. La surface est orientable si, quand tu reviens de ta promenade, vous pouvez toujours lire la note. Sur une surface non orientable, vous pouvez revenir de votre promenade pour constater que les mots que vous avez écrits se sont apparemment transformés en leur image miroir et ne peuvent être lus que de droite à gauche. Sur la boucle recto-verso, la note sera toujours lue de gauche à droite, peu importe où votre voyage vous a mené.

La bande de Möbius n'étant pas orientable, alors que la boucle biface est orientable, cela signifie que la bande de Möbius et la boucle à deux côtés sont topologiquement différentes.

Le concept d'orientabilité a des implications importantes. Prenez des énantiomères. Ces composés chimiques ont les mêmes structures chimiques à une différence près :ils sont des images miroir les uns des autres. Par exemple, le produit chimique L-méthamphétamine est un ingrédient des inhalateurs à vapeur Vicks. Son image miroir, D-méthamphétamine, est une drogue illégale de classe A. Si nous vivions dans un monde non orientable, ces produits chimiques seraient indiscernables.

La découverte d'August Möbius a ouvert de nouvelles voies pour étudier le monde naturel. L'étude de la topologie continue de produire des résultats étonnants. Par exemple, l'année dernière, la topologie a conduit les scientifiques à découvrir de nouveaux états étranges de la matière. La médaille Fields de cette année, la plus haute distinction en mathématiques, a été décerné à Akshay Venkatesh, un mathématicien qui a aidé à intégrer la topologie avec d'autres domaines tels que la théorie des nombres.

Cet article est republié à partir de The Conversation sous une licence Creative Commons. Lire l'article original.