Les mathématiques sont considérées comme un instrument qui produit des réponses correctes à nos questions sur l'univers. Par exemple, les maths peuvent prédire correctement que si vous avez deux pommes et mangez une pomme par jour, ils vous dureront précisément deux jours.

Cependant, parfois les mathématiques produisent des réponses qui semblent contre-intuitives à nos propres expériences de l'univers, comme le paradoxe Banach-Tarski, qui stipule qu'une boule solide peut être coupée en plusieurs morceaux et que ces morceaux peuvent être assemblés en deux boules solides, chacun ayant la même taille que la balle d'origine.

Est-ce que ces contradictions suggèrent qu'il y a une crise en maths, qu'il ne peut pas expliquer les mystères de l'univers ? Non. Ils nous obligent simplement à reconsidérer la façon dont nous abordons ces problèmes.

Donner du sens à l'univers

Supposons que vous soyez au bord de la mer avec un enfant, et vous avez une paire de jumelles. Vous donnez les jumelles à l'enfant et lui suggérez de regarder les mouettes. Cependant, elle s'intéresse beaucoup plus à toi que les mouettes, alors en une minute, elle te braque les jumelles, s'attendant à voir une version plus grande de vous, et elle ne voit qu'un flou.

Est-ce que quelque chose ne va pas avec l'un de vous? Non. Quelque chose ne va pas avec les jumelles. Non. Votre enfant utilise simplement les jumelles en dehors de la plage dans laquelle ils peuvent produire des résultats significatifs. De la même manière, des énoncés contre-intuitifs en mathématiques nous montrent les limites de la gamme utile d'utilisation de certains outils mathématiques.

Nous connaissons tous un paradoxe mathématique depuis notre enfance :vous ne pouvez pas diviser par zéro. C'est parce que les nombres et les opérations arithmétiques sont tous des outils utiles, et il est raisonnable de combiner ces outils et de les utiliser ensemble autant que possible.

Cependant, les mathématiques ne sont pas une entité harmonieuse - ses outils s'emboîtent assez bien, mais pas parfaitement bien. Nous devons faire attention à l'écart entre eux. La division est un outil utile, et zéro est un outil utile, mais la division par zéro est au-delà de la plage de division utile.

En dehors des faits et des paradoxes, les mathématiques peuvent aussi produire des modèles inhabituels qui semblent volontairement détachés du monde qui nous entoure. Considérons un exemple très simple. L'image ci-dessous montre une ficelle nouée. Ses extrémités sont collées entre elles pour éviter qu'il ne se dénoue lorsqu'il est tiré dans un sens ou dans l'autre.

Nous ne pouvons pas dénouer un nœud comme celui-ci juste en le tirant doucement, nous devons le couper. Cependant, une approche alternative demande si un nœud peut être dénoué en le considérant dans un espace imaginaire au lieu de l'espace habituel. Par exemple, le nœud dans l'image ci-dessus est un nœud dit de tranche, qui se dénoue facilement si on l'observe dans quatre dimensions spatiales, plutôt que l'espace tridimensionnel auquel nous sommes habitués.

Répondre aux questions de demain

Pourquoi est-il important pour les mathématiciens de produire ces modèles inhabituels ? L'une des raisons est de créer un arsenal de modèles mathématiques qui peuvent être utilisés si la science en a besoin à l'avenir. En d'autres termes, certains de ces modèles peuvent cesser d'être fantastiques et peuvent commencer à prendre tout leur sens une fois que notre connaissance de l'univers aura été rattrapée.

Le plus célèbre, géométrie non euclidienne, qui a été développé comme une expérience de pensée par des mathématiciens au milieu du 19ème siècle, fait valoir que certaines lignes droites peuvent être courbes. Il est devenu indispensable à la découverte au XXe siècle de la théorie de la relativité, qui a fait valoir que la lumière, au lieu de voyager en ligne droite, se déplace parfois le long d'une courbe, ou même autour d'un cercle.

Il y a aussi une autre raison d'être conscient des modèles mathématiques inhabituels. Tous ces modèles n'ont pas la chance d'être appliqués directement dans les sciences expérimentales, mais ils peuvent tous élargir notre imagination et nous préparer convenablement à accepter des phénomènes scientifiques nouvellement découverts. Ceci est important pour apprécier la science moderne.

Certaines personnes ne comprennent pas ou ne croient pas au Big Bang. C'est très probablement parce que leur imagination leur fait défaut lorsqu'ils essaient d'imaginer un univers sans matière telle que nous la connaissons et sans espace tel que nous la connaissons. Imaginer un espace qui n'est pas le même que celui que nous percevons peut être difficile. Par exemple, il est difficile d'imaginer que, contrairement à notre expérience de première main, la Terre n'est pas plate.

Même si vous savez que la Terre est une sphère, il peut sembler étrange qu'il y ait des endroits où les gens marchent "à l'envers". Si vous vous rendez compte que les mathématiciens considèrent constamment et traitent avec succès des modèles d'espace qui défient notre intuition, cela peut vous donner l'assurance qu'en cas de besoin, l'humanité et vous personnellement pouvez aborder des questions qui défient notre compréhension de l'espace.

Cet article a été initialement publié sur The Conversation. Lire l'article original.