Les Américains boivent en moyenne 3,1 tasses de café par jour; pour plusieurs personnes, la boisson populaire est une nécessité matinale. Lorsque vous transportez un liquide, le bon sens dit de marcher lentement et de s'abstenir de trop remplir le récipient. Mais quand les banlieusards se précipitent vers la porte avec un café à la main, il y a de fortes chances que leur précipitation fasse couler une partie du liquide chaud hors de la tasse. Les déversements qui en résultent, désordre, et les brûlures légères contrebalancent sans aucun doute les avantages salés du café.

Le ballottement se produit lorsqu'un récipient de liquide - du café dans une tasse, eau dans un seau, gaz naturel liquide dans un pétrolier, etc. - oscille horizontalement autour d'une position fixe proche d'une fréquence de résonance ; ce mouvement se produit lorsque les conteneurs sont transportés ou déplacés. Alors que presque tous les conteneurs de transport ont des poignées rigides, un seau avec une poignée pivotante permet la rotation autour d'un axe central et réduit considérablement les risques de renversement. Bien qu'il ne s'agisse pas nécessairement d'une solution réaliste sur le pouce pour la plupart des boissons, l'atténuation ou l'élimination du ballottement est certainement souhaitable. Dans un article récent publié dans Revue SIAM , Hilary et John Ockendon utilisent des mathématiques étonnamment simples pour développer un modèle de ballottement. Leur modèle comprend une tasse sur une table horizontale lisse qui oscille dans une seule direction via une connexion à ressort. "Nous avons choisi le modèle mathématiquement le plus simple avec lequel comprendre la mécanique de base de l'action du pendule sur les problèmes de ballottement, " a déclaré J. Ockendon.

Les auteurs s'inspirent d'un article lauréat du prix Ig Nobel décrivant un modèle mécanique de base qui étudie les résultats de la marche à reculons tout en portant une tasse de café. Ils utilisent à la fois les lois de la physique de Newton et les propriétés de base de l'hydrodynamique pour employer une configuration dite « paradigme », ce qui explique comment un berceau introduit un degré de liberté supplémentaire qui modifie à son tour la réponse du liquide. "Le modèle paradigmatique contient la même mécanique que le pendule mais est plus simple à écrire, " a déclaré Ockendon. "Nous avons trouvé des résultats expérimentaux sur le modèle de paradigme, ce qui signifiait que nous pouvions faire des comparaisons directes."

Les auteurs évaluent ce scénario plutôt que l'utilisation plus réaliste mais compliquée d'une tasse comme berceau qui se déplace comme un simple pendule. Pour simplifier davantage leur modèle, ils supposent que la tasse en question est rectangulaire et engagée dans un mouvement bidimensionnel, c'est à dire., le mouvement perpendiculaire à la direction d'action du ressort est absent. Parce que le café est initialement au repos, le flux est toujours irrotationnel. "Notre modèle considère le ballottement dans un réservoir suspendu à un pivot qui oscille horizontalement à une fréquence proche de la fréquence de ballottement la plus basse du liquide dans le réservoir, " a déclaré Ockendon. " Ensemble, nous avons écrit plusieurs articles sur le sloshing classique au cours des 40 dernières années, mais ce n'est que récemment que nous avons été stimulés par ces observations pour considérer l'effet pendule."

Les variables du modèle initial représentent (i) une main se déplaçant autour d'une position fixe, (ii) la fréquence de la marche, typiquement entre 1-2 Hertz, et (iii) un ressort reliant la main tremblante à la tasse, qui glisse sur la surface lisse de la table. Ockendon et Ockendon s'intéressent surtout à l'effet du ressort sur le mouvement du liquide.

Les auteurs résolvent les équations du modèle via la séparation des variables et analysent le résultat suivant avec un diagramme de réponse illustrant la dépendance de l'amplitude de ballottement à la fréquence de forçage. Les conditions aux limites de la tasse supposent que la vitesse normale du liquide et de la tasse sont les mêmes, et que l'amplitude de l'oscillation est faible. Ockendon et Ockendon linéarisent les conditions aux limites pour éviter de résoudre un problème aux limites libres non linéaires sans solution explicite. Ils enregistrent l'équation du mouvement du récipient pour coupler le mouvement du liquide et du ressort. Dans ce cas, la tension du ressort et la pression sur les parois du récipient sont les forces horizontales agissantes.

Les auteurs découvrent que l'inclusion d'une corde ou d'un pendule entre le conteneur et la main de transport (le mécanisme de forçage) diminue la rigidité et diminue considérablement la fréquence de résonance la plus basse, diminuant ainsi le ballottement pour presque toutes les fréquences. "Notre modèle montre que, par rapport à un réservoir non pivoté, l'amplitude de la réponse résonante la plus basse sera considérablement réduite, à condition que la longueur du pendule soit supérieure à la longueur du réservoir, " a déclaré Ockendon.

En conclusion, Ockendon et Ockendon utilisent une modélisation et une analyse simplistes pour expliquer un phénomène commun que presque tout le monde connaît. Ils suggèrent que les futurs analystes enquêtent sur le ballottement dans une tasse cylindrique plutôt que rectangulaire, ou avec des oscillations verticales plutôt qu'horizontales, car ces deux facteurs compliquent le modèle. On pourrait également examiner l'effet de l'action du ressort sur le comportement non linéaire du système près de la résonance. Finalement, les chercheurs peuvent utiliser les idées de base de cette étude pour considérer la réponse non linéaire du ballottement des eaux peu profondes, qui a une variété d'applications dans le monde réel.