L'Institut israélien de technologie et Alexandr Polyanskii de l'Institut de physique et de technologie de Moscou (MIPT) ont prouvé la conjecture de zone de László Fejes Tóth. Formulé en 1973, il dit que si une sphère unité est complètement recouverte par plusieurs zones, leur largeur combinée est d'au moins π. La preuve, publié dans la revue Analyse géométrique et fonctionnelle , est important pour la géométrie discrète et permet aux mathématiciens de formuler de nouveaux problèmes.

La géométrie discrète étudie les propriétés combinatoires des points, lignes, cercles, polygones et autres objets géométriques. Quel est le plus grand nombre de balles de même taille pouvant tenir autour d'une autre balle de la même taille ? Quelle est la façon la plus dense d'emballer des cercles de taille égale dans un avion, ou des balles dans un espace contenant ? Ces questions et d'autres sont traitées par la géométrie discrète.

Les solutions à de tels problèmes ont des applications pratiques. Ainsi, le problème d'emballage dense a permis d'optimiser le codage et de corriger les erreurs dans la transmission des données. Un autre exemple est le théorème des quatre couleurs, qui dit que quatre couleurs suffisent pour tracer n'importe quelle carte sur une sphère de sorte que deux régions adjacentes n'aient pas la même couleur. Cela a incité les mathématiciens à introduire des concepts importants pour la théorie des graphes, ce qui est crucial pour de nombreux développements récents en chimie, biologie et informatique, ainsi que les systèmes logistiques.

La conjecture de zone de Tóth est étroitement liée à un certain nombre d'autres problèmes de géométrie discrète qui ont été résolus au 20ème siècle concernant le recouvrement d'une surface avec des bandes. Le premier d'entre eux était le problème dit des planches, qui impliquait de recouvrir un disque de bandes délimitées par des lignes parallèles. Alfred Tarski et Henryk Moese ont proposé une preuve simple montrant que la largeur combinée de ces bandes, ou des planches, ne peut pas dépasser le diamètre du disque. C'est-à-dire, il n'y a pas de meilleure façon de recouvrir un disque qu'avec une seule planche dont la largeur est égale au diamètre du disque. Thøger Bang a ensuite résolu le problème de recouvrir un corps convexe arbitraire de bandes. À savoir, il a prouvé que la largeur combinée des bandes recouvrant un corps convexe est au moins la largeur du corps lui-même, C'est, la largeur minimale d'une seule bande recouvrant le corps.

Le problème abordé par les auteurs est différent en ce qu'il consiste à recouvrir une sphère unitaire de zones spécialement construites. Spécifiquement, chaque zone est l'intersection de la sphère avec une certaine planche tridimensionnelle, où une planche est la région de l'espace contenue entre deux plans parallèles symétriques par rapport au centre de la sphère. Alternativement, des zones peuvent être définies dans l'espace métrique géodésique sans recourir à des planches :Une zone de largeur à la surface d'une sphère unité est l'ensemble des points qui ne se situent pas à plus de ω/2 du grand cercle, ou l'équateur, avec les distances entre les points mesurées comme les arcs les plus courts les reliant. Les mathématiciens devaient trouver la largeur minimale combinée de telles zones couvrant la sphère unité. Ainsi, le problème diffère de ceux précédemment résolus dans la façon dont la largeur est mesurée - elle est définie comme la longueur d'un arc, plutôt que la distance euclidienne entre des lignes ou des plans parallèles.

La preuve présentée par Jiang et Polyanskii a été inspirée par Bang, qui a résolu le problème de recouvrir un corps de bandes en formant un ensemble fini spécial de points à l'intérieur du corps, dont l'un n'était supposément couvert par aucune des bandes. Dans un sens, Bang et les auteurs produisent une preuve par contradiction. Dans le cas de la conjecture de Fejes Tóth, les mathématiciens ont émis l'hypothèse que la largeur combinée des zones couvrant complètement la sphère était inférieure à et ont cherché à arriver à une contradiction, à savoir, trouver un point situé sur la sphère mais pas dans aucune des zones.

Les auteurs ont montré qu'il est possible de former un ensemble de points dans l'espace tridimensionnel de sorte qu'au moins un point ne soit pas recouvert par les planches constituant les zones. Si tout cet ensemble se trouve à l'intérieur de la sphère, il est alors relativement facile de tracer un autre point sur la sphère qui n'est pas non plus recouvert par les planches, et donc par les zones. Si l'un des points de l'ensemble se trouve à l'extérieur de la sphère, il s'avère possible de substituer une zone plus grande à plusieurs plus petites, dont la largeur combinée est égale à celle de la plus grande zone. Ainsi, il est possible de réduire le nombre de zones dans le problème initial sans affecter leur largeur combinée. Finalement, un point sur la sphère est identifié qui n'est pas couvert par les zones. Ceci va à l'encontre de l'hypothèse selon laquelle la largeur combinée des zones est inférieure à , prouver la conjecture de Fejes Tóth.

Le problème a été résolu dans un espace à n dimensions, mais les auteurs disent que cela ne le rend pas différent du cas avec trois dimensions.

"Le problème de Fejes Tóth fascine les mathématiciens dans le domaine de la géométrie discrète depuis plus de 40 ans, " dit l'auteur Alexandr Polyanskii du Département de Mathématiques Discrètes, MIPT. "Ce problème s'est avéré avoir une solution élégante, que nous avons eu la chance de trouver. Le problème de Fejes Tóth nous a incités à en envisager un autre, conjecture plus fondamentale sur le recouvrement d'une sphère par des zones décalées définies comme l'intersection de la sphère avec des planches tridimensionnelles qui ne sont pas nécessairement à symétrie centrale."