Comprendre les relations inverses en mathématiques

Des relations inverses apparaissent dans toutes les mathématiques, de la simple arithmétique aux fonctions avancées. Ils peuvent être identifiés de trois manières :les opérations qui s'annulent, la forme des graphiques lorsque deux variables sont tracées et les paires de fonctions qui sont des inverses mathématiques.

1. Opérations mathématiques inverses

Chaque opération arithmétique a une contrepartie qui annule son effet. Les exemples les plus courants sont :

• Addition et soustraction : 5 + 7 =12 ; 12 – 7 =5. L'effet net est nul.
• Multiplication et division : 4 × 3 =12 ; 12 ÷ 3 =4. L'effet net est un.
• Exponentiation et racines : 2² =4; √4 =2. Élever à une puissance et prendre la racine correspondante s'annulent.

La reconnaissance de ces paires inverses permet de simplifier les expressions algébriques et de résoudre les équations efficacement.

2. Fonctions directes et inverses

Une fonction mappe chaque entrée de son domaine à une seule sortie dans sa plage. Si des entrées plus importantes produisent des sorties plus importantes, la fonction est directe . Si des entrées plus grandes produisent des sorties plus petites, la fonction est inverse .

Exemples de fonctions directes :

• f(x) =2x + 2
• f(x) =x²
• f(x) =√x

Exemples de fonctions inverses (avec la variable uniquement au dénominateur) :

• f(x) =1/x
• f(x) =n/x (où n est une constante)
• f(x) =n/√x
• f(x) =n/(x + w) (où w est un entier)

3. Paires de fonctions inverses les unes des autres

Deux fonctions distinctes peuvent être inverses si chacune annule le mappage de l’autre. Par exemple :