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La trigonométrie peut sembler abstraite, mais le cercle unitaire transforme ces mystères en géométrie concrète. En plaçant un cercle de rayon 1 à l'origine d'un système de coordonnées, chaque valeur trigonométrique devient simplement la coordonnée x ou y d'un point.
Le cercle unité a un rayon 1. Les angles sont mesurés à partir du point (1,0) sur l'axe des x positif et augmentent dans le sens inverse des aiguilles d'une montre. Pour n'importe quel angleθ :
Un cercle unité est simplement un cercle dont le rayon est exactement une unité. Cette unité peut être des mètres, des pieds, des pouces – n’importe quelle mesure; la clé est que le rayon est de 1. Pour cette raison, la circonférence et l'aire du cercle deviennent de simples multiples de π, et de nombreuses formules trigonométriques se réduisent à des nombres purs.
Placez le cercle de manière à ce que son centre coïncide avec l'origine d'un plan cartésien. Le cercle coupe l'axe des x positif en (1,0). Par convention, nous commençons à mesurer les angles à partir de ce point et nous nous déplaçons dans le sens inverse des aiguilles d’une montre. Ainsi, le point (1,0) correspond à 0°, (0,1) à 90°, (‑1,0) à 180°, et (0,‑1) à 270° (ou –90°).
Dans les cours élémentaires, sin, cos et tan sont introduits par des triangles rectangles :
\(\sin\theta =\frac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}}\)
\(\cos\theta =\frac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}\)
\(\tan\theta =\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\)
Sur le cercle unité, l'hypoténuse est toujours 1, donc les équations se simplifient comme suit :
\(\sin\theta =\text{ci-contre}\)
\(\cos\theta =\text{adjacent}\)
Si nous dessinons un rayon qui fait un angle θ avec l’axe des x positif, le côté « opposé » est la coordonnée y et le côté « adjacent » est la coordonnée x du point où le rayon rencontre le cercle. Par conséquent, sinθ est la coordonnée y et cosθ est la coordonnée x. Ceci explique pourquoi sin0°=0 et cos0°=1, ou sin90°=1 et cos90°=0.
Les angles négatifs sont traités naturellement :une rotation dans le sens des aiguilles d'une montre à partir du point de départ partage la même coordonnée x que l'angle positif correspondant mais inverse le signe de la coordonnée y. D'où :
\(\cos(-\theta) =\cos\theta\)
\(\sin(-\theta) =-\sin\theta\)
En utilisant les définitions circulaires de sin et cos, tan se simplifie au rapport de la coordonnée y à la coordonnée x :
\(\tan\theta =\frac{\sin\theta}{\cos\theta} =\frac{y}{x}\)
Cette forme montre clairement pourquoi tan n'est pas défini à 90° (ou 270°), où x=0, car la division par zéro est impossible.
Lorsque vous visualisez le cercle unité, la coordonnée x varie progressivement de 1 à –1 lorsque vous vous déplacez de 0° à 180°, puis remonte à 1 sur 360°. La fonction sinusoïdale suit le même schéma mais atteint d'abord son pic de 1 à 90°. Par conséquent, sin et cos sont déphasés de 90°. La tangente, étant le rapport y/x, a des asymptotes verticales où x=0, produisant le motif répétitif familier avec des points indéfinis à des multiples impairs de 90°.
