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En mathématiques, l'inverse d'un nombre est la valeur qui, multipliée par l'original, donne 1. Par exemple, l'inverse de la variable x est \frac{1}{x} parce que x \times \frac{1}{x} =\frac{x}{x} =1 .
En trigonométrie, les deux angles non droits d'un triangle rectangle peuvent être exprimés avec les rapports familiers sinus, cosinus et tangente. En élargissant ce concept, les mathématiciens définissent les rapports réciproques :cosécante (csc), sécante (sec) et cotangente (cot). Ce sont respectivement les réciproques du sinus, du cosinus et de la tangente.
Considérons un triangle rectangle avec un angle aigu θ . Laissez le côté opposé θ être b , le côté adjacent est a , et l'hypoténuse est r . Les principaux rapports trigonométriques sont :
\(\text{sine }θ =\sin θ =\frac{b}{r}\)
\(\text{cosinus }θ =\cos θ =\frac{a}{r}\)
\(\text{tangente}θ =\tan θ =\frac{b}{a}\)
Par définition, l'inverse de chaque rapport est la valeur qui se multiplie jusqu'à 1. Ainsi on définit :
\(\text{cosécant }θ =\csc θ =\frac{1}{\sin θ} =\frac{r}{b}\)
\(\text{sécant }θ =\sec θ =\frac{1}{\cos θ} =\frac{r}{a}\)
\(\text{cotangente }θ =\cot θ =\frac{1}{\tan θ} =\frac{a}{b}\)
Ces identités réciproques satisfont les relations fondamentales suivantes pour tout angle θ :
\(\sin θ \times \csc θ =1\)
\(\cos θ \times \sec θ =1\)
\(\tan θ \times \cot θ =1\)
Connaître le sinus et le cosinus nous permet de dériver la tangente via l'identité du quotient :
\(\frac{\sin θ}{\cos θ} =\tan θ\)
\(\frac{\cos θ}{\sin θ} =\cot θ\)
L'identité pythagoricienne découle de la relation triangle rectangle a ² + b ² =r ². La réorganisation et la substitution des rapports sinus et cosinus donnent :
\(\sin^2 θ + \cos^2 θ =1\)
L'insertion des identités réciproques dans cette expression donne deux autres relations essentielles :
\(\tan^2 θ + 1 =\sec^2 θ\)
\(\cot^2 θ + 1 =\csc^2 θ\)
Ces identités constituent l'épine dorsale de nombreuses preuves et applications trigonométriques, de la géométrie simple aux calculs techniques avancés.
