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Le radian est l'unité fondamentale pour mesurer les angles en mathématiques et en physique. Il est défini par la géométrie d'un cercle :si vous prenez un arc dont la longueur est égale au rayon du cercle, l'angle sous-tendu au centre par cet arc est d'un radian. Cette définition lie l'unité directement à la forme du cercle, la rendant plus « naturelle » pour de nombreuses formules mathématiques.
Un radian est une unité d'angle basée sur le rayon du cercle, simplifiant de nombreuses équations avancées en mathématiques et en physique.
Les degrés sont la manière quotidienne d'exprimer les angles :360° pour un cercle complet, 180° pour un triangle, 90° pour un angle droit. Les radians, cependant, proviennent de la géométrie propre du cercle :un cercle complet vaut 2π radians, un triangle vaut π radians et un angle droit vaut π/2 radians. Bien que π soit irrationnel, les radians simplifient les calculs qui autrement impliqueraient des multiplicateurs π.
Pour l’arithmétique et la trigonométrie de base, les degrés sont pratiques car vous avez rarement besoin de fractions de π. En calcul, les radians deviennent essentiels. La série de puissances pour le sinus, par exemple, est bien plus claire en radians :
\(\sin(x) =x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \dots\)
En degrés, la même série nécessiterait l'insertion répétée de \(\frac{\pi x}{180}\), augmentant à la fois la longueur et le risque d'erreur. Étant donné que les radians dérivent directement de la géométrie du cercle, ils correspondent naturellement au comportement des fonctions trigonométriques en calcul.
En calcul, la dérivée de \(\sin(x)\) est simplement \(\cos(x)\) lorsque x est en radians. En degrés, la dérivée inclurait un facteur supplémentaire de \(\frac{\pi}{180}\). En physique, la vitesse angulaire est souvent écrite sous la forme \(\omega\) et mesurée en radians par seconde; par exemple, une rotation complète par seconde équivaut à \(2\pi\) rad/s. Les radians réduisent ainsi l'encombrement dans les formules et la notation.
Pour convertir un angle de degrés en radians, multipliez par \(\pi\) et divisez par 180. Par exemple, 360° × \(\pi\) ÷ 180 =2\pi rad. Inversement, pour convertir des radians en degrés, multipliez par 180 et divisez par \(\pi\). Donc \(\frac{\pi}{2}\) rad × 180 ÷ \(\pi\) =90°.