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L'algèbre nécessite fréquemment la simplification des expressions et des nombres complexes, ceux qui contiennent l'unité imaginaire i (défini par i ² =–1) — peut sembler intimidant à première vue. Cependant, une fois que vous maîtrisez les règles fondamentales, la gestion des nombres complexes est simple et fiable.
Suivez les règles algébriques de base (addition, soustraction, multiplication et division) lorsque vous travaillez avec des nombres complexes pour simplifier n'importe quelle expression.
Les nombres complexes étendent le système de nombres réels en incorporant l'unité imaginaire i , la racine carrée de –1. Tout nombre complexe peut être écrit sous la forme standard :
\(z =a + bi\)
Ici, un est la vraie partie et b est la partie imaginaire, dont chacune peut être positive ou négative. Par exemple, z =2 – 4i démontre la structure. En fait, les nombres réels ordinaires sont simplement des nombres complexes avec b =0, donc le système de nombres complexes est une extension naturelle de tous les nombres.
Addition et soustraction
Lorsque vous ajoutez ou soustrayez des nombres complexes, combinez séparément les parties réelles et les parties imaginaires. Par exemple, avec z =2 – 4i et w =3 + 5i :
\(\begin{aligned} z + w &=(2 – 4i) + (3 + 5i)\\ &=(2 + 3) + (-4 + 5)i\\ &=5 + i\end{aligned}\)
La soustraction suit le même principe :
\(\begin{aligned} z - w &=(2 – 4i) – (3 + 5i)\\ &=(2 – 3) + (-4 – 5)i\\ &=-1 - 9i\end{aligned}\)
Multiplication
La multiplication est analogue à l'algèbre ordinaire, mais vous devez vous rappeler que i ² =–1. Pour deux nombres imaginaires simples, 3i × –4i :
\(3i \times -4i =-12i^2 =-12(-1) =12\)
Avec des nombres complexes complets, utilisez la méthode FOIL :
\(\begin{aligné} z \times w &=(2 - 4i)(3 + 5i)\\ &=(2 \times 3) + (-4i \times 3) + (2 \times 5i) + (-4i \times 5i)\\ &=6 - 12i + 10i - 20i^2\\ &=6 - 2i + 20\\ &=26 + 2i\end{aligné}\)
Division
Pour diviser des nombres complexes, multipliez le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur. Le conjugué d'un nombre complexe z =a + bi est z* =a – bi. Par exemple :
\(\frac{z}{w} =\frac{2 - 4i}{3 + 5i}\)
Multiplier par le conjugué du dénominateur (3 – 5i ):
\(\frac{z}{w} =\frac{(2 - 4i)(3 - 5i)}{(3 + 5i)(3 - 5i)}\)
Calculer le numérateur et le dénominateur séparément :
\(\begin{aligned} (2 - 4i)(3 - 5i) &=6 - 12i - 10i + 20i^2 \newline &=-14 - 22i \newline (3 + 5i)(3 - 5i) &=9 + 15i - 15i - 25i^2 \newline &=34\end{aligned}\)
Ainsi :
\(\frac{z}{w} =\frac{-14 - 22i}{34} =-\frac{7}{17} - \frac{11}{17}i\)
Appliquez les règles ci-dessus pour réduire toute expression complexe. Prenons l'exemple :
\(z =\frac{(4 + 2i) + (2 - i)}{(2 + 2i)(2 + i)}\)
Simplifiez d'abord le numérateur :
\((4 + 2i) + (2 - i) =6 + i\)
Puis le dénominateur :
\(\begin{aligned} (2 + 2i)(2 + i) &=4 + 4i + 2i + 2i^2 \newline &=(4 - 2) + 6i \newline &=2 + 6i\end{aligned}\)
La fraction devient :
\(z =\frac{6 + i}{2 + 6i}\)
Multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur (2 – 6i ):
\(\begin{aligned} z &=\frac{(6 + i)(2 - 6i)}{(2 + 6i)(2 - 6i)} \newline &=\frac{12 + 2i - 36i - 6i^2}{4 + 12i - 12i - 36i^2} \newline &=\frac{18 - 34i}{40} \newline &=\frac{9}{20} - \frac{17}{20}i\end{aligned}\)
La forme simplifiée est donc :
\(z =\frac{9}{20} - \frac{17}{20}i\)