Imaginez que vous vous tenez au centre d'une arène parfaitement circulaire, regardant la foule autour du bord. Vous repérez un ami sur un siège et un professeur sur un autre. Quelle est la distance qui les sépare ? Quel angle forment les lignes de vue entre vous et chacun d’eux ? Ces questions trouvent leur réponse grâce au concept d'angle central .
Un angle central est l'angle formé par deux rayons tirés du centre du cercle vers deux points de sa circonférence. Les deux rayons sont les lignes de vue entre vous, l'ami et le professeur. L'angle entre eux est l'angle central, l'angle le plus proche du centre du cercle.
L'ami et le professeur sont assis sur la circonférence du cercle. Le chemin incurvé le long du bord qui les relie est appelé un arc. .
Si vous connaissez la longueur de l'arc (la distance que vous parcourriez le long de l'arène pour aller de l'ami au professeur) et la circonférence totale du cercle, la relation entre les deux est :
longueur de l'arc / circonférence =angle central / 360°
La réorganisation donne :
angle central =(longueur de l'arc / circonférence) × 360°
Cette proportion fonctionne car la fraction du périmètre du cercle occupée par l'arc est exactement la même fraction de l'angle complet de 360°.
Lorsque le rayon r du cercle est connu, vous pouvez calculer l'angle au centre en radians avec :
θ =s / r
où s est la longueur de l'arc. Le résultat θ est mesuré en radians. Si vous préférez les degrés, multipliez la valeur en radian par 57,2958 (ou utilisez simplement la méthode de circonférence ci-dessus).
Vous pouvez également déterminer la longueur de l'arc :
s =θ × r
ou pour le rayon lorsque la longueur de l'arc et l'angle au centre sont donnés :
r =s / θ
Considérez une troisième personne – votre voisin – assise de l’autre côté de l’arène. From the neighbor’s perspective, the two lines of sight to the friend and the teacher form an inscribed angle (un angle dont les sommets se trouvent sur la circonférence). Le théorème de l'angle central relie cet angle inscrit à l'angle central que vous observez :
∠AOC =2∠ABC
Ici, les points A et B sont l'ami et le professeur, C est le voisin et O est le centre. Le théorème est valable lorsque le voisin se trouve du même côté de la corde AB que l'arc qui ne contient pas les autres points.
Lorsque le point inscrit C se déplace à l'intérieur de l'arc mineur entre A et B, la relation change. L'angle inscrit devient le supplément de la moitié de l'angle au centre :
∠ABC =180° – (∠AOC / 2)
En d'autres termes, l'angle inscrit et la moitié de l'angle central totalisent 180°.
Math Open Reference propose un outil interactif qui vous permet de faire glisser le voisin autour du cercle et d'observer comment les angles centraux et inscrits évoluent en temps réel. Essayez-le pour une compréhension pratique de la théorie.
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