Certaines personnes aiment se promener au hasard dans les bois, tandis que d'autres pourraient se promener dans leur propre quartier. Dans le monde des maths, une marche aléatoire est en fait plus aléatoire que cela; ce serait l'équivalent de lancer une pièce pour décider de la direction à prendre à chaque pas.

Récemment, Omer Tamuz de Caltech, professeur d'économie et de mathématiques, avec deux de ses étudiants diplômés, Joshua Frisch et Pooya Vahidi Ferdowsi, et leur collègue Yair Hartman de l'Université Ben Gourion en Israël, résolu un problème mathématique de longue date lié aux marches aléatoires. La solution a été publiée l'été dernier dans la revue Annales de mathématiques .

"Je me souviens avoir parlé aux étudiants d'une prise de conscience que nous avions concernant ce problème, et puis le lendemain matin, j'ai découvert qu'ils étaient restés éveillés tard dans la nuit et j'ai compris, " dit Tamuz.

« Nous avons eu beaucoup de chance car ce projet nous a permis d'obtenir la solution que nous voulions. C'est très rare dans un projet de mathématiques, " dit Frisch. " Environ 90 pour cent des projets sur lesquels vous travaillez, vous ne pourrez pas résoudre. Avec environ 10 pour cent, vous commencez à progresser et à travailler beaucoup plus dur. Et même alors, vous ne les résolvez pas toujours. Être mathématicien consiste en partie à s'habituer à l'échec. Parfois, vous travaillez sur quelque chose pendant des mois et devez abandonner et passer au prochain projet. »

Les mathématiciens imaginent des marches aléatoires dans des espaces de dimensions et de géométries différentes. Dans la nouvelle étude, l'équipe de Caltech a imaginé des marches aléatoires en "groupes, " qui sont des objets pouvant avoir des géométries très diverses. Pour certains groupes, les marches aléatoires finiront par, après que beaucoup de temps s'est écoulé, converger vers une direction précise. Dans ces cas, les promenades sont dites dépendantes du chemin, ce qui signifie que quelque chose qui s'est passé au début affecte le résultat. Ou, en d'autres termes, quelque chose qui se produit au début de la marche influence l'endroit où elle se termine. Mais pour les autres groupes, le sens des marches ne converge pas, et leur histoire n'affecte pas leur avenir.

"Pour un processus aléatoire, est-il vrai qu'à long terme, tout s'efface et quoi qu'il arrive se passera-t-il indépendamment de ce qui s'est passé plus tôt ? Ou y a-t-il un souvenir de ce qui s'est passé avant?" demande Tamuz. "Dites que vous avez deux sociétés, et l'un d'eux fait des progrès technologiques tandis que l'autre subit une catastrophe naturelle. Ces différences vont-elles persister pour toujours, ou finiront-ils par disparaître et on oubliera qu'une fois qu'il y a eu un avantage ? En promenades aléatoires, on sait depuis longtemps qu'il y a des groupes qui ont ces mémoires alors que dans d'autres groupes les mémoires sont effacées. Mais il n'était pas vraiment clair quels groupes ont cette propriété et lesquels n'en ont pas, c'est-à-dire qu'est-ce qui fait qu'un groupe a de la mémoire ? C'est ce que nous avons compris."

La solution, dit Tamuz, avait à voir avec la recherche d'une « manière géométrique de décrire une propriété algébrique des groupes ». Pour en comprendre l'essentiel, pensez à un cercle. Vous pouvez décrire le cercle géométriquement (comme l'ensemble de tous les points à une distance donnée d'un point), ou vous pouvez le décrire avec une équation algébrique. Dans le cas du problème de marche aléatoire, les mathématiciens ont trouvé une nouvelle façon de penser les liens entre les propriétés géométriques et algébriques des groupes qu'ils étudiaient.

"Nous avons en fait été choqués par la facilité avec laquelle il était de résoudre le problème une fois que nous avons compris cette connexion, " dit Ferdowsi, qui explique que même si la solution « vient de couler, " l'équipe a fait face à un retard "considérable" alors qu'il était dans son pays d'origine, l'Iran et incapable d'obtenir un visa pour revenir à Caltech. "En fin de compte, nous étions ravis d'avoir résolu un problème ouvert de longue date en mathématiques."

Frisch dit que la grande prise de conscience qu'ils avaient pour ce problème de mathématiques est en fait issue d'un problème précédent qui était beaucoup plus difficile. "Je me cognais la tête depuis quelques mois et je n'arrivais pas à progresser, " il dit, "Mais ensuite, nous avons eu cette idée d'eureka qui s'appliquait non seulement à ce sur quoi nous travaillions à l'époque, mais aussi à ce problème plus récent. Cela fait vraiment du bien quand vous réalisez, "Oh mon Dieu, ça va vraiment marcher.'"

Les Étude des annales de mathématiques , titré, "Les groupes de Choquet-Deny et la propriété de classe de conjugaison infinie, " a été soutenu par la National Science Foundation et la Simons Foundation.