Figure 1. Extension du concept de « nombres » entiers. Les points noirs sont les entiers ordinaires représentés dans un plan complexe. L'addition ou la multiplication de n'importe quelle paire de points noirs aboutit à un autre point noir. Tous les points rouges et bleus de cette figure sont des solutions à certaines équations quadratiques à coefficients entiers. Les points violets sont des solutions à certaines équations quartiques avec des coefficients entiers. Donc, nous pouvons également considérer ces points comme faisant partie de « nombres ». Les opérations d'addition et de multiplication entre les points noirs ou rouges restent dans les "nombres" indiqués dans les points noirs ou rouges, et pareillement, ces opérations de points noir-rouge-bleu ou violet restent dans les "nombres" des points noir-rouge-bleu ou violet. De cette façon, il est possible d'étendre progressivement l'ensemble des "nombres" entiers. Crédit :Kavli IPMU
Une collaboration d'un mathématicien et d'un physicien a montré que les formes modulaires associées aux courbes elliptiques à multiplications complexes sont exprimées en termes d'observables dans la théorie des supercordes.
Le concept de nombres peut être étendu à partir des nombres entiers et des nombres rationnels pour inclure tous les nombres réels et les nombres complexes, tout à la fois. Mais il est aussi possible d'étendre le concept progressivement, en ajoutant petit à petit les racines de polynômes à coefficients rationnels (comme la racine carrée de 2 et la racine carrée de 3) (figure 1). Cette classe spéciale de nombres complexes est appelée « nombres ». Les détails précis de la façon dont le concept de nombres peut être étendu ont été considérés comme l'un des thèmes importants de la théorie des nombres.
Depuis plusieurs décennies, les chercheurs ont essayé d'aborder et de comprendre ce problème. On pourrait spécifier un objet géométrique par des équations en utilisant d'abord les "nombres", puis considérons l'ensemble des points de l'objet géométrique dont les valeurs sont les "nombres". Au fur et à mesure que le concept des nombres s'étend, et l'ensemble des "nombres" élargi, de plus en plus de points dans l'objet géométrique viennent à être comptés (figure 2). L'idée est que la façon dont le nombre de points dans l'objet géométrique augmente fera la lumière sur la façon dont l'ensemble de "nombres" se développe. Par ailleurs, cette information du taux de croissance du nombre de points dans l'objet géométrique est emballée dans une fonction appelée la transformée de Mellin inverse de la fonction L, qui est une fonction contenant les informations sur la vitesse à laquelle le nombre de points dans un objet géométrique augmente à mesure que le concept de nombre est étendu. Cette fonction devait être une forme modulaire, une fonction qui reste invariante sous certaines opérations. Cette conjecture est connue sous le nom de conjecture de Langlands.
Figure 2. Un objet géométrique donné par y^2 =4 x^3 - x est représenté par une fine courbe bleue. Dans cet objet, les trois points noirs ont leurs valeurs dans les entiers ordinaires. D'autre part, les trois points dans les triangles rouges ont leurs valeurs dans un ensemble plus étendu de "nombres" (les coordonnées x sont de la forme (p+q sqrt{2}) avec des nombres rationnels p et q ; les coordonnées y sont plus compliquées) . Au fur et à mesure que le concept de « nombres » est étendu, le nombre de points avec leurs valeurs dans les "chiffres" augmente, même pour un objet géométrique donné. Crédit :Kavli IPMU
Kavli Institute for the Physics and Mathematics of the Universe (Kavli IPMU) Professeur agrégé et théoricien des particules Taizan Watari et chercheur en géométrie arithmétique à la Middle East Technical University Northern Cyprus Campus et Kavli IPMU Visiting Scientist Satoshi Kondo a osé demander pourquoi de telles fonctions sont invariantes sous certaines conditions. opérations.
En théorie des cordes, on sait qu'une classe d'observables (a) est invariante sous les opérations (x) qui ont déjà été évoquées. L'invariance sous les opérations est une propriété indispensable dans la construction théorique de la théorie des supercordes. Donc, les chercheurs ont montré que les transformations inverses de Mellin des fonctions L des objets géométriques (b) sont exprimées en termes de la classe d'observables ci-dessus (a) dans la théorie des supercordes avec ces objets géométriques définis comme espaces cibles. Par conséquent, il s'ensuit que les fonctions contenant les informations sur la façon dont le concept de nombres est étendu, les transformées inverses de Mellin, (b) devrait être invariant dans certaines opérations, qui devraient être des formes modulaires, (x) pour des raisons du point de vue de la théorie des supercordes.
Figure 3. Résumé de cette étude. Crédit :Kavli IPMU
Il est à noter que le résultat ci-dessus n'est obtenu que pour la classe d'objets géométriques appelés courbes elliptiques à multiplications complexes. La question reste ouverte de savoir si les fonctions pour la classe plus générale d'objets géométriques (b) sont exprimées en termes d'observables dans la théorie des supercordes (a).
Les détails de cette étude ont été publiés le 22 février 2019, dans Communications en physique mathématique .
