Et si les ingénieurs pouvaient concevoir un meilleur jet avec des équations mathématiques qui réduiraient considérablement le besoin de tests expérimentaux ? Ou si les modèles de prévision météorologique pouvaient prédire les détails du mouvement de la chaleur de l'océan vers un ouragan ? Ces choses sont impossibles maintenant, mais pourrait être possible à l'avenir avec une compréhension mathématique plus complète des lois de la turbulence.

Les mathématiciens de l'Université du Maryland Jacob Bedrossian, Samuel Punshon-Smith et Alex Blumenthal ont développé la première preuve mathématique rigoureuse expliquant une loi fondamentale de la turbulence. La preuve de la loi de Batchelor sera présentée lors d'une réunion de la Society for Industrial and Applied Mathematics le 12 décembre 2019.

Bien que toutes les lois de la physique puissent être décrites à l'aide d'équations mathématiques, beaucoup ne sont pas soutenus par des preuves mathématiques détaillées qui expliquent leurs principes sous-jacents. Un domaine de la physique qui a été considéré comme trop difficile à expliquer avec des mathématiques rigoureuses est la turbulence. Vu dans les vagues de l'océan, nuages ​​gonflés et le sillage derrière un véhicule à grande vitesse, la turbulence est le mouvement chaotique des fluides (y compris l'air et l'eau) qui comprend des changements apparemment aléatoires de pression et de vitesse.

La turbulence est la raison pour laquelle les équations de Navier-Stokes, qui décrivent comment les fluides s'écoulent, sont si difficiles à résoudre qu'il y a une récompense d'un million de dollars pour quiconque peut les prouver mathématiquement. Pour comprendre l'écoulement des fluides, les scientifiques doivent d'abord comprendre la turbulence.

"Il devrait être possible de regarder un système physique et de comprendre mathématiquement si une loi physique donnée est vraie, " dit Jacob Bedrossian, professeur de mathématiques à l'UMD et co-auteur de la preuve. "Nous pensons que notre preuve fournit la base pour comprendre pourquoi la loi de Batchelor, une loi clé de la turbulence, est vrai d'une manière qu'aucun travail de physique théorique n'a fait jusqu'à présent. Ce travail pourrait aider à clarifier certaines des variations observées dans les expériences de turbulence et à prédire les paramètres où la loi de Batchelor s'applique ainsi que ceux où elle ne s'applique pas. »

Depuis son introduction en 1959, les physiciens ont débattu de la validité et de la portée de la loi de Batchelor, ce qui permet d'expliquer comment les concentrations chimiques et les variations de température se répartissent dans un fluide. Par exemple, mélanger la crème dans le café crée un grand tourbillon avec de petits tourbillons qui en découlent et des plus petits qui en dérivent. Au fur et à mesure que la crème se mélange, les tourbillons deviennent plus petits et le niveau de détail change à chaque échelle. La loi de Batchelor prédit le détail de ces tourbillons à différentes échelles.

La loi joue un rôle dans des choses telles que le mélange de produits chimiques dans une solution, l'eau de la rivière se mélange à l'eau salée lorsqu'elle se jette dans l'océan et l'eau chaude du Gulfstream se combine à l'eau plus froide lorsqu'elle s'écoule vers le nord. Au cours des années, de nombreuses contributions importantes ont été faites pour aider à comprendre cette loi, y compris le travail à l'UMD par les professeurs d'université distingués Thomas Antonsen et Edward Ott. Cependant, une preuve mathématique complète de la loi de Batchelor est restée insaisissable.

"Avant les travaux du professeur Bedrossian et de ses co-auteurs, La loi de Batchelor était une conjecture, " a déclaré Vladimir Sverak, un professeur de mathématiques à l'Université du Minnesota qui n'était pas impliqué dans le travail. "La conjecture a été soutenue par certaines données d'expériences, et l'on pourrait spéculer sur les raisons pour lesquelles une telle loi devrait s'appliquer. Une preuve mathématique de la loi peut être considérée comme un contrôle de cohérence idéal. Cela nous permet également de mieux comprendre ce qui se passe réellement dans le fluide, et cela peut conduire à de nouveaux progrès."

"Nous ne savions pas si cela pouvait être fait, " dit Bedrossian, qui a également un poste conjoint au Centre de calcul scientifique et de modélisation mathématique de l'UMD. "Les lois universelles de la turbulence étaient considérées comme trop complexes pour être traitées mathématiquement. Mais nous avons pu résoudre le problème en combinant l'expertise de plusieurs domaines."

Expert en équations aux dérivées partielles, Bedrossian a fait venir deux chercheurs postdoctoraux de l'UMD experts dans trois autres domaines pour l'aider à résoudre le problème. Samuel Punshon-Smith (Ph.D. '17, mathématiques appliquées et statistiques, et calcul scientifique), maintenant professeur adjoint Prager à l'Université Brown, est un expert en probabilités. Alex Blumenthal est un expert en systèmes dynamiques et théorie ergodique, une branche des mathématiques qui comprend ce que l'on appelle communément la théorie du chaos. L'équipe représentait quatre domaines distincts d'expertise mathématique qui interagissent rarement à ce degré. Tous étaient essentiels pour résoudre le problème.

« La façon dont le problème a été abordé est en effet créative et innovante, " a déclaré Sverak. "Parfois, la méthode de preuve peut être encore plus importante que la preuve elle-même. Il est probable que les idées des articles du professeur Bedrossian et de ses co-auteurs seront très utiles dans les recherches futures. »

Le nouveau niveau de collaboration que l'équipe a apporté à ce problème ouvre la voie au développement de preuves mathématiques pour expliquer d'autres lois de turbulence non prouvées.

« Si cette preuve est tout ce que nous obtenons, Je pense que nous avons accompli quelque chose, " Bedrossian a déclaré. "Mais j'espère qu'il s'agit d'un échauffement et que cela ouvre la porte à dire 'Oui, nous pouvons prouver l'universalité des lois de la turbulence et elles ne sont pas au-delà du domaine des mathématiques. Maintenant que nous avons une compréhension beaucoup plus claire de la façon d'utiliser les mathématiques pour étudier ces questions, nous travaillons à construire les outils mathématiques nécessaires pour étudier plus de ces lois."

Comprendre les principes physiques sous-jacents derrière davantage de lois de turbulence pourrait éventuellement aider les ingénieurs et les physiciens à concevoir de meilleurs véhicules, éoliennes et technologies similaires ou à faire de meilleures prévisions météorologiques et climatiques.